放物線 $C: y=ax^2$ と直線 $l: y=2x+12$ が2点A, Bで交わっており、点Aのx座標が3である。 (1) $a$ の値を求める。 (2) 点Bの座標を求め、三角形OABの面積を求める。 (3) 放物線C上に、直線ABに関してOの反対側に2点P, Qを、$\triangle OAP = \triangle OAB$, $\triangle OBQ = \triangle OAB$ となるようにとる。 (i) 点P, Qの座標をそれぞれ求める。 (ii) 四角形APQBの面積を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

放物線 $C: y=ax^2$ と直線 $l: y=2x+12$ が2点A, Bで交わっており、点Aのx座標が3である。

(1) $a$ の値を求める。

(2) 点Bの座標を求め、三角形OABの面積を求める。

(3) 放物線C上に、直線ABに関してOの反対側に2点P, Qを、$\triangle OAP = \triangle OAB$, $\triangle OBQ = \triangle OAB$ となるようにとる。

(i) 点P, Qの座標をそれぞれ求める。

(ii) 四角形APQBの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Aのx座標が3なので、直線 $l$ の式に代入して、点Aのy座標を求める。

$y = 2 \times 3 + 12 = 6 + 12 = 18$

よって、点Aの座標は (3, 18)。

点Aは放物線 $C$ 上の点でもあるので、$y = ax^2$ に代入して $a$ の値を求める。

$18 = a \times 3^2$

$18 = 9a$

$a = 2$

(2) 放物線 $C: y = 2x^2$ と直線 $l: y = 2x + 12$ の交点Bの座標を求める。

$2x^2 = 2x + 12$

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = 3, -2$

点Aのx座標が3なので、点Bのx座標は $-2$。

$y = 2 \times (-2) + 12 = -4 + 12 = 8$

よって、点Bの座標は $(-2, 8)$。

三角形OABの面積を求める。点A(3, 18), 点B(-2, 8)。

直線ABの方程式は $y = 2x + 12$。

三角形OABの面積は、直線ABと原点Oの距離を高さとし、線分ABを底辺とする三角形の面積として求めることもできるが、ここでは、点Aと点Bからx軸に垂線を下ろし、それぞれの垂線とx軸、および線分ABによってできる台形の面積から、2つの三角形の面積を引く方法で求める。

台形の面積 $= (18 + 8) \times (3 - (-2)) / 2 = 26 \times 5 / 2 = 65$

左側の三角形の面積 $= 2 \times 8 / 2 = 8$

右側の三角形の面積 $= 3 \times 18 / 2 = 27$

三角形OABの面積 $= 65 - 8 - 27 = 30$

(3)

(i) $\triangle OAP = \triangle OAB$ となる点Pの座標を求める。点Pは放物線C上にあるので、$P(p, 2p^2)$ とおく。

$\triangle OAP = \triangle OAB$ より、点Pから直線OAまでの距離と、点Bから直線OAまでの距離が等しい。

直線OAの式は $y = 6x$。

点Pと直線OAの距離 $d_P = \frac{|6p - 2p^2|}{\sqrt{37}}$

点Bと直線OAの距離 $d_B = \frac{|6(-2) - 8|}{\sqrt{37}} = \frac{20}{\sqrt{37}}$

$|6p - 2p^2| = 20$

$3p - p^2 = \pm 10$

$p^2 - 3p \pm 10 = 0$

$p^2 - 3p + 10 = 0$ の解は実数ではない。

$p^2 - 3p - 10 = 0$

$(p - 5)(p + 2) = 0$

$p = 5, -2$

PはOに関してABの反対側にあるため，$x \neq 3, -2$。

$p = 5$ なので $P(5, 50)$

$\triangle OBQ = \triangle OAB$ となる点Qの座標を求める。点Qは放物線C上にあるので、$Q(q, 2q^2)$ とおく。

$\triangle OBQ = \triangle OAB$ より、点Qから直線OBまでの距離と、点Aから直線OBまでの距離が等しい。

直線OBの式は $y = -4x$。

点Qと直線OBの距離 $d_Q = \frac{|-4q - 2q^2|}{\sqrt{17}}$

点Aと直線OBの距離 $d_A = \frac{|-4(3) - 18|}{\sqrt{17}} = \frac{30}{\sqrt{17}}$

$|-4q - 2q^2| = 30$

$|2q + q^2| = 15$

$q^2 + 2q = \pm 15$

$q^2 + 2q - 15 = 0$

$(q + 5)(q - 3) = 0$

$q = -5, 3$

$q^2 + 2q + 15 = 0$ は実数解を持たない。

QはOに関してABの反対側にあるため、$q \neq 3, -2$。

$q = -5$ なので $Q(-5, 50)$

(ii) 四角形APQBの面積を求める。

$A(3, 18)$, $B(-2, 8)$, $P(5, 50)$, $Q(-5, 50)$

四角形APQBは台形であり、その面積は

$((50-18)+(50-8))\times (3-(-2)) / 2 = (32 + 42) \times 5 / 2 = 74 \times 5 / 2 = 185$

ただし、計算が複雑になるため、ベクトルを利用して四角形を２つの三角形に分割して計算した方が確実である。

四角形APQBの面積 = $\triangle APQ + \triangle BPQ$

$\triangle APQ = 1/2 |(5-3)(50-18) - (-5-3)(50-18)| = 1/2 |2 \times 32 - (-8) \times 32| = 1/2 |64 + 256| = 1/2 \times 320 = 160$

$\triangle BPQ = 1/2 |(-5 - (-2))(50 - 8) - (5-(-2))(50-8)| = 1/2 |(-3)(42) - (7)(42)| = 1/2 |-126 - 294| = 1/2 \times 420 = 210$

四角形APQBの面積 = $160 + 210 = 370$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$

(2) Bの座標: $(-2, 8)$、三角形OABの面積: 30

(3) (i) Pの座標: $(5, 50)$、Qの座標: $(-5, 50)$

(ii) 四角形APQBの面積: 370