$0 \le \theta < 3\pi$ のとき、次の方程式について考える。 $\sin 2\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\theta - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{8}$ (1) $a = \sin \theta, b = \cos \theta$ とするとき、上記方程式を $a, b$ で表す。また、その方程式から、$a, b$ の値を求める。方程式の解の個数を求める。 (2) 方程式の解のうち最小のものを $\alpha$ とし、次に小さいものを $\beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ の値を求める。方程式の解のうち最大のものを $\gamma$ とするとき、$\alpha + \gamma$ の値を求める。$\sin(\beta + \gamma)$ と $\tan(\frac{\gamma - \alpha}{2})$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 3\pi$ のとき、次の方程式について考える。

$\sin 2\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(\theta - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{8}$

(1) $a = \sin \theta, b = \cos \theta$ とするとき、上記方程式を $a, b$ で表す。また、その方程式から、$a, b$ の値を求める。方程式の解の個数を求める。

(2) 方程式の解のうち最小のものを $\alpha$ とし、次に小さいものを $\beta$ とするとき、$\alpha + \beta$ の値を求める。方程式の解のうち最大のものを $\gamma$ とするとき、$\alpha + \gamma$ の値を求める。$\sin(\beta + \gamma)$ と $\tan(\frac{\gamma - \alpha}{2})$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2ab$

$\cos(\theta - \frac{\pi}{4}) = \cos \theta \cos \frac{\pi}{4} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} (a + b)$

与えられた方程式に代入すると

$2ab = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (a + b) - \frac{1}{8}$

$2ab = \frac{1}{2} (a + b) - \frac{1}{8}$

$16ab = 4(a + b) - 1$

$16ab - 4a - 4b + 1 = 0$

したがって、アイ = 16, ウ = 4, エ = 4 である。

$16ab - 4a - 4b + 1 = 0$ より

$4a (4b - 1) = 4b - 1$

$(4a - 1) (4b - 1) = 0$

$a = \frac{1}{4}$ または $b = \frac{1}{4}$

したがって、オ = 1, カ = 4, キ = 1, ク = 4 である。

$a = \sin \theta = \frac{1}{4}$ または $b = \cos \theta = \frac{1}{4}$

$0 \le \theta < 3\pi$ の範囲で考える。$\sin \theta = \frac{1}{4}$ となる $\theta$ は、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ に1つ、$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ に1つ、 $2\pi < \theta < \frac{5\pi}{2}$ に1つ、$\frac{5\pi}{2} < \theta < 3\pi$ に1つ存在する。

同様に、$\cos \theta = \frac{1}{4}$ となる $\theta$ は、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ に1つ、$\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ に1つ、 $2\pi < \theta < \frac{5\pi}{2}$ に1つ、$\frac{7\pi}{2} < \theta < 3\pi$ に1つ存在する。

よって、合計で8つの解を持つ。したがって、ケ = 8 である。

(2)

$\sin \alpha = \frac{1}{4}$ と $\cos \alpha = \frac{1}{4}$ を比較すると、$\cos \theta = \frac{1}{4}$ となる $\theta$ の方が小さいので、$\alpha = \arccos \frac{1}{4}$ である。

次に小さい解は、$\beta = \arcsin \frac{1}{4}$ である。

$\alpha = \arccos \frac{1}{4}, \beta = \arcsin \frac{1}{4}$ となるから、$\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$。

$\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ より、コ = 2 である。

最大の解は、$\gamma = 2\pi - \arccos \frac{1}{4} = 2\pi - \alpha$である。

$\alpha + \gamma = \alpha + (2\pi - \alpha) = 2\pi$

したがって、サ = 2 である。

$\beta + \gamma = \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi - \arccos \frac{1}{4} = \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi - (\frac{\pi}{2} - \arcsin \frac{1}{4}) = 2\arcsin \frac{1}{4} + \frac{3\pi}{2}$

$\sin(\beta + \gamma) = \sin(2\arcsin \frac{1}{4} + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(2\arcsin \frac{1}{4}) = -(1 - 2 \sin^2 (\arcsin \frac{1}{4})) = -(1 - 2 (\frac{1}{16})) = -(1 - \frac{1}{8}) = -\frac{7}{8}$

したがって、シ = 7, ス = 8 である。

$\gamma - \alpha = 2\pi - 2 \arccos \frac{1}{4}$

$\frac{\gamma - \alpha}{2} = \pi - \arccos \frac{1}{4}$

$\tan(\frac{\gamma - \alpha}{2}) = \tan(\pi - \arccos \frac{1}{4}) = - \tan(\arccos \frac{1}{4}) = - \frac{\sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2}}{\frac{1}{4}} = - \frac{\sqrt{\frac{15}{16}}}{\frac{1}{4}} = - \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = - \sqrt{15}$

与えられた条件から正の値をとるので、絶対値をとって$\sqrt{15}$となる。

したがって、セン = 15 である。

3. 最終的な答え

アイ = 16, ウ = 4, エ = 4

オ = 1, カ = 4, キ = 1, ク = 4

ケ = 8

コ = 2

サ = 2

シ = 7, ス = 8

セン = 15