与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) - 9$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) - 9$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ をそれぞれ展開します。

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$y = x^2 - 8x$ と置くと、式は以下のように書き換えられます。

$(y + 7)(y + 15) - 9$

これを展開します。

$y^2 + 22y + 105 - 9 = y^2 + 22y + 96$

次に、この式を因数分解します。

$y^2 + 22y + 96 = (y + 6)(y + 16)$

ここで、$y$ を $x^2 - 8x$ に戻します。

$(x^2 - 8x + 6)(x^2 - 8x + 16)$

ここで、$x^2 - 8x + 16$ は $(x - 4)^2$ と因数分解できます。

$(x^2 - 8x + 6)(x - 4)^2$

したがって、最終的な因数分解された形は $(x^2 - 8x + 6)(x - 4)^2$ となります。

3. 最終的な答え

$(x^2 - 8x + 6)(x - 4)^2$