与えられた式 $(x+y)^4 - (x-y)^4$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y)^4 - (x-y)^4$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$A = x+y$、$B = x-y$ と置くと、与えられた式は $A^4 - B^4$ となる。

これは、$A^4 - B^4 = (A^2 + B^2)(A^2 - B^2)$ と因数分解できる。

さらに、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ と因数分解できるので、

$A^4 - B^4 = (A^2 + B^2)(A+B)(A-B)$ となる。

ここで、$A = x+y$、$B = x-y$ を代入する。

まず、$A+B = (x+y) + (x-y) = 2x$

次に、$A-B = (x+y) - (x-y) = 2y$

そして、$A^2 = (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$、$B^2 = (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

なので、$A^2 + B^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2)$

したがって、

$(x+y)^4 - (x-y)^4 = 2(x^2 + y^2) \cdot 2x \cdot 2y = 8xy(x^2 + y^2)$

3. 最終的な答え

$8xy(x^2 + y^2)$