内積空間 $V$ の部分空間 $W$ に対して、 $W^\perp = \{u \in V | (u, v) = 0 \text{ for all } v \in W\}$ とおく。このとき、$W^\perp$ が $V$ の部分空間であることを示す。

1. 問題の内容

内積空間 $V$ の部分空間 $W$ に対して、

$W^\perp = \{u \in V | (u, v) = 0 \text{ for all } v \in W\}$

とおく。このとき、$W^\perp$ が $V$ の部分空間であることを示す。

2. 解き方の手順

$W^\perp$ が $V$ の部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要がある。

(1) ゼロベクトル $0$ が $W^\perp$ に含まれる。

(2) $W^\perp$ の任意の2つのベクトル $u_1, u_2$ に対して、$u_1 + u_2$ が $W^\perp$ に含まれる。

(3) $W^\perp$ の任意のベクトル $u$ と任意のスカラー $c$ に対して、$cu$ が $W^\perp$ に含まれる。

(1) ゼロベクトル $0$ が $W^\perp$ に含まれることを示す。

任意の $v \in W$ に対して、内積 $(0, v) = 0$ が成り立つ。したがって、$0 \in W^\perp$。

(2) $W^\perp$ の任意の2つのベクトル $u_1, u_2$ に対して、$u_1 + u_2$ が $W^\perp$ に含まれることを示す。

$u_1, u_2 \in W^\perp$ とすると、任意の $v \in W$ に対して、$(u_1, v) = 0$ かつ $(u_2, v) = 0$ が成り立つ。

このとき、

$(u_1 + u_2, v) = (u_1, v) + (u_2, v) = 0 + 0 = 0$

が成り立つ。したがって、$u_1 + u_2 \in W^\perp$。

(3) $W^\perp$ の任意のベクトル $u$ と任意のスカラー $c$ に対して、$cu$ が $W^\perp$ に含まれることを示す。

$u \in W^\perp$ とすると、任意の $v \in W$ に対して、$(u, v) = 0$ が成り立つ。

このとき、

$(cu, v) = c(u, v) = c \cdot 0 = 0$

が成り立つ。したがって、$cu \in W^\perp$。

以上の(1), (2), (3)より、$W^\perp$ は $V$ の部分空間である。

3. 最終的な答え

$W^\perp$ は $V$ の部分空間である。