AとBの2チームが試合をする。1回の試合でAが勝つ確率は$\frac{3}{4}$、Bが勝つ確率は$\frac{1}{4}$である。先に2勝した方が優勝となるとき、Aが優勝する確率を求めよ。

1. 問題の内容

AとBの2チームが試合をする。1回の試合でAが勝つ確率は$\frac{3}{4}$、Bが勝つ確率は$\frac{1}{4}$である。先に2勝した方が優勝となるとき、Aが優勝する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

Aが優勝する場合、次の3つのケースが考えられる。

* Aが2連勝する場合

* Aが1勝1敗した後、Aが勝つ場合

* Bが1勝1敗した後、Aが勝つ場合

それぞれのケースの確率を計算し、それらを合計することで、Aが優勝する確率を求める。

* Aが2連勝する場合の確率：$\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}$

* Aが1勝1敗した後、Aが勝つ場合 (Aが最初に勝ち、次に負ける場合)：$\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$

* Aが1勝1敗した後、Aが勝つ場合 (Aが最初に負け、次に勝つ場合)：$\frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$

したがって、Aが優勝する確率は、

$$\frac{9}{16} + \frac{9}{64} + \frac{9}{64} = \frac{36}{64} + \frac{9}{64} + \frac{9}{64} = \frac{54}{64} = \frac{27}{32}$$

3. 最終的な答え

Aが優勝する確率は$\frac{27}{32}$である。