全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、$A \cap \overline{B} = \{2, 5, 7\}$, $\overline{A} \cap B = \{6, 9\}$, $\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 4, 8\}$ であるとき、$A$ と $B$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ の部分集合 $A$, $B$ について、$A \cap \overline{B} = \{2, 5, 7\}$, $\overline{A} \cap B = \{6, 9\}$, $\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 4, 8\}$ であるとき、$A$ と $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた条件から、$A$ と $B$ に含まれる要素を特定します。

まず、集合 $U$ を、$A$ と $B$ の組み合わせによって4つの部分に分割します。

$A \cap B$, $A \cap \overline{B}$, $\overline{A} \cap B$, $\overline{A} \cap \overline{B}$.

$A \cap \overline{B}$ は、$A$ には含まれるが $B$ には含まれない要素の集合です。

$A \cap \overline{B} = \{2, 5, 7\}$

$\overline{A} \cap B$ は、$B$ には含まれるが $A$ には含まれない要素の集合です。

$\overline{A} \cap B = \{6, 9\}$

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$A$ にも $B$ にも含まれない要素の集合です。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 4, 8\}$

$U = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B})$

したがって、$A \cap B = U - ((A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B}))$ が成り立ちます。

集合 $A$ は、 $A \cap B$ と $A \cap \overline{B}$ の和集合です。

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$

集合 $B$ は、 $A \cap B$ と $\overline{A} \cap B$ の和集合です。

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)$

$A \cap \overline{B} = \{2, 5, 7\}$、$\overline{A} \cap B = \{6, 9\}$、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{1, 4, 8\}$ より、$U$ からこれらの要素を取り除くと、$A \cap B$ の要素が求まります。

$A \cap B = U - ((A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B})) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 5, 7\} - \{6, 9\} - \{1, 4, 8\} = \{3\}$

$A \cap B = \{3\}$

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = \{3\} \cup \{2, 5, 7\} = \{2, 3, 5, 7\}$

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) = \{3\} \cup \{6, 9\} = \{3, 6, 9\}$

3. 最終的な答え

$A = \{2, 3, 5, 7\}$

$B = \{3, 6, 9\}$