多項式 $x^3 - x^2 + ax + b$ を多項式 $P(x)$ で割ると、余りが $5x + 10$ となる。$P(x) = 0$ が $x = -1, 4$ を解としてもつとき、$a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 - x^2 + ax + b$ を多項式 $P(x)$ で割ると、余りが $5x + 10$ となる。$P(x) = 0$ が $x = -1, 4$ を解としてもつとき、$a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)=0$ が $x=-1, 4$ を解としてもつので、$P(x)$ は $(x+1)(x-4)$ を因数に持ちます。つまり、$P(x)=c(x+1)(x-4)$ のような形になります。ここで、$c$ は定数です。

$x^3 - x^2 + ax + b$ を $P(x)$ で割った余りが $5x + 10$ であるということは、$x^3 - x^2 + ax + b = Q(x)P(x) + 5x + 10$ (ただし、$Q(x)$ は商)と書けるということです。

ここで、$P(x)$ は2次式であるため、$Q(x)$は一次式となります。しかし、$P(x)$の次数が与えられていないので、$x^3 - x^2 + ax + b$ を $(x+1)(x-4)$ で割った余りが $5x + 10$ である、と考えます。

つまり、$x^3 - x^2 + ax + b = (x+1)(x-4)q(x) + 5x + 10$ と書けるということです。

$x=-1$ を代入すると、

$(-1)^3 - (-1)^2 + a(-1) + b = 5(-1) + 10$

$-1 - 1 - a + b = -5 + 10$

$-a + b = 7$

$x=4$ を代入すると、

$(4)^3 - (4)^2 + a(4) + b = 5(4) + 10$

$64 - 16 + 4a + b = 20 + 10$

$48 + 4a + b = 30$

$4a + b = -18$

$-a + b = 7$ と $4a + b = -18$ の連立方程式を解きます。

$4a + b - (-a + b) = -18 - 7$

$5a = -25$

$a = -5$

$a = -5$ を $-a + b = 7$ に代入すると、

$-(-5) + b = 7$

$5 + b = 7$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = 2$