与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理します。その後、因数分解しやすいように項を組み替え、共通因数でくくります。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$

$= a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

$= a^2b + a^2c + b^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2 + 2abc$

$a$ について整理します。

$= (b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2)a + (b^2c + bc^2)$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

$= (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$