方程式 $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$ の実数解を求める問題です。$y = x + \frac{1}{x}$ とおき、方程式を $y^2 + ay + b = 0$ の形に変形し、$a$, $b$ の値を求め、実数解を求めます。

1. 問題の内容

方程式 $x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$ の実数解を求める問題です。$y = x + \frac{1}{x}$ とおき、方程式を $y^2 + ay + b = 0$ の形に変形し、$a$, $b$ の値を求め、実数解を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $x^2$ で割ると、

$x^2 + 2x - 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2(x + \frac{1}{x}) - 1 = 0$

$y = x + \frac{1}{x}$ とおくと、

$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$

したがって、

$(y^2 - 2) + 2y - 1 = 0$

$y^2 + 2y - 3 = 0$

したがって $a = 2$, $b = -3$ となります。

$y^2 + 2y - 3 = 0$ を解くと、

$(y + 3)(y - 1) = 0$

$y = -3, 1$

$y = x + \frac{1}{x}$ より、

$x + \frac{1}{x} = -3$ のとき、

$x^2 + 3x + 1 = 0$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$x + \frac{1}{x} = 1$ のとき、

$x^2 - x + 1 = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

これは実数解ではないので不適。

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -3$

実数解は $x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$