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与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解してください。

代数学因数分解多項式
2025/4/29

1. 問題の内容

与えられた式 x4−11x2y2+y4x^4 - 11x^2y^2 + y^4 を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与式を A2−B2A^2 - B^2 の形に持ち込むことを考えます。
まず、x4+2x2y2+y4x^4 + 2x^2y^2 + y^4 を考えます。これは (x2+y2)2(x^2 + y^2)^2 となります。
x4−11x2y2+y4=x4+2x2y2+y4−13x2y2=(x2+y2)2−13x2y2x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 13x^2y^2
次に、x4−11x2y2+y4=x4−2x2y2+y4−9x2y2=(x2−y2)2−(3xy)2x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2 = (x^2 - y^2)^2 - (3xy)^2 と変形します。
すると、A2−B2=(A+B)(A−B)A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) の公式が使える形になりました。
(x2−y2)2−(3xy)2=(x2−y2+3xy)(x2−y2−3xy)(x^2 - y^2)^2 - (3xy)^2 = (x^2 - y^2 + 3xy)(x^2 - y^2 - 3xy)
=(x2+3xy−y2)(x2−3xy−y2)= (x^2 + 3xy - y^2)(x^2 - 3xy - y^2)

3. 最終的な答え

(x2+3xy−y2)(x2−3xy−y2)(x^2 + 3xy - y^2)(x^2 - 3xy - y^2)

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## 1. 問題の内容

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