以下の3つの命題を示す問題です。 (1) $||u+v||^2 + ||u-v||^2 = 2(||u||^2 + ||v||^2)$ (2) $u$と$v$が直交する $\Leftrightarrow$ $||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2$ (3) $u+v$と$u-v$が直交する $\Leftrightarrow$ $||u|| = ||v||$

1. 問題の内容

以下の3つの命題を示す問題です。

(1) $||u+v||^2 + ||u-v||^2 = 2(||u||^2 + ||v||^2)$

(2) $u$と$v$が直交する $\Leftrightarrow$ $||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2$

(3) $u+v$と$u-v$が直交する $\Leftrightarrow$ $||u|| = ||v||$

2. 解き方の手順

(1)

ベクトルのノルムの性質 $||x||^2 = x \cdot x$ を用います。ここで $\cdot$ は内積を表します。

$||u+v||^2 = (u+v) \cdot (u+v) = u \cdot u + 2u \cdot v + v \cdot v = ||u||^2 + 2u \cdot v + ||v||^2$

$||u-v||^2 = (u-v) \cdot (u-v) = u \cdot u - 2u \cdot v + v \cdot v = ||u||^2 - 2u \cdot v + ||v||^2$

したがって、

$||u+v||^2 + ||u-v||^2 = (||u||^2 + 2u \cdot v + ||v||^2) + (||u||^2 - 2u \cdot v + ||v||^2) = 2(||u||^2 + ||v||^2)$

よって、(1)は示されました。

(2)

$u$と$v$が直交する $\Leftrightarrow$ $u \cdot v = 0$ です。

$||u+v||^2 = (u+v) \cdot (u+v) = u \cdot u + 2u \cdot v + v \cdot v = ||u||^2 + 2u \cdot v + ||v||^2$

$u \cdot v = 0$ のとき、$||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2$

逆に、$||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2$ のとき、$||u||^2 + 2u \cdot v + ||v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2$ より $2u \cdot v = 0$ なので、$u \cdot v = 0$。よって$u$と$v$は直交します。

(3)

$u+v$と$u-v$が直交する $\Leftrightarrow$ $(u+v) \cdot (u-v) = 0$です。

$(u+v) \cdot (u-v) = u \cdot u - u \cdot v + v \cdot u - v \cdot v = ||u||^2 - ||v||^2$

したがって、$(u+v) \cdot (u-v) = 0 \Leftrightarrow ||u||^2 - ||v||^2 = 0 \Leftrightarrow ||u||^2 = ||v||^2 \Leftrightarrow ||u|| = ||v||$

3. 最終的な答え

(1) $||u+v||^2 + ||u-v||^2 = 2(||u||^2 + ||v||^2)$

(2) $u$と$v$が直交する $\Leftrightarrow$ $||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2$

(3) $u+v$と$u-v$が直交する $\Leftrightarrow$ $||u|| = ||v||$