与えられた行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 4 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 3 \end{pmatrix}$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 行列 $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求めます。 (2) 行列 $P$ の列ベクトルを $p_1, p_2, p_3$ とするとき、$Ap_1 = p_1$, $Ap_2 = 2p_2$, $Ap_3 = 2p_3$ を満たす3次正方行列 $A$ と、その固有値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 4 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 3 \end{pmatrix}$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 行列 $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求めます。

(2) 行列 $P$ の列ベクトルを $p_1, p_2, p_3$ とするとき、$Ap_1 = p_1$, $Ap_2 = 2p_2$, $Ap_3 = 2p_3$ を満たす3次正方行列 $A$ と、その固有値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 逆行列の計算

行列 $P$ の逆行列 $P^{-1}$ を求めるには、掃き出し法を用いるか、余因子行列を利用します。ここでは余因子行列を用いる方法で計算します。

まず、$P$ の行列式 $|P|$ を計算します。

$|P| = 1(3\cdot3 - 4\cdot3) - 2(4\cdot3 - 4\cdot2) + 2(4\cdot3 - 3\cdot2) = 1(9-12) - 2(12-8) + 2(12-6) = -3 - 8 + 12 = 1$

次に、余因子行列 $C$ を計算します。

$C_{11} = (3\cdot3 - 4\cdot3) = -3$

$C_{12} = -(4\cdot3 - 4\cdot2) = -4$

$C_{13} = (4\cdot3 - 3\cdot2) = 6$

$C_{21} = -(2\cdot3 - 2\cdot3) = 0$

$C_{22} = (1\cdot3 - 2\cdot2) = -1$

$C_{23} = -(1\cdot3 - 2\cdot2) = 1$

$C_{31} = (2\cdot4 - 2\cdot3) = 2$

$C_{32} = -(1\cdot4 - 2\cdot4) = 4$

$C_{33} = (1\cdot3 - 2\cdot4) = -5$

したがって、余因子行列 $C$ は

$C = \begin{pmatrix} -3 & -4 & 6 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -5 \end{pmatrix}$

転置余因子行列（随伴行列）$C^T$ は

$C^T = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 2 \\ -4 & -1 & 4 \\ 6 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

$P^{-1} = \frac{1}{|P|} C^T = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 2 \\ -4 & -1 & 4 \\ 6 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

(2) 行列Aの決定と固有値

$Ap_1 = p_1$, $Ap_2 = 2p_2$, $Ap_3 = 2p_3$ は、$p_1, p_2, p_3$ がそれぞれ行列 $A$ の固有ベクトルであり、対応する固有値が $1, 2, 2$ であることを意味します。

したがって、$P = (p_1, p_2, p_3)$ は、行列 $A$ を対角化する行列であり、 $P^{-1}AP = D$ (対角行列) となります。つまり、$A = PDP^{-1}$。

$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

$A = PDP^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 4 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 0 & 2 \\ -4 & -1 & 4 \\ 6 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 2 & 6 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 0 & 2 \\ -4 & -1 & 4 \\ 6 & 1 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & -4 \\ 10 & 0 & -8 \end{pmatrix}$

行列 $A$ の固有値は、$\lambda = 1, 2, 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $P^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 2 \\ -4 & -1 & 4 \\ 6 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -2 \\ 4 & 2 & -4 \\ 10 & 0 & -8 \end{pmatrix}$

行列Aの固有値は $1, 2, 2$