与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{1}{\sqrt[2]{7}} \sqrt{(\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}})^{2/3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は

$\frac{1}{\sqrt[2]{7}} \sqrt{(\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}})^{2/3}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、根号のネストを解消します。

$\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}} = 7^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{\frac{1}{16}} = 7^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}} = 7^{\frac{8+4+2+1}{16}} = 7^{\frac{15}{16}}$

次に、$(\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}})^{2/3}$を計算します。

$(\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}})^{2/3} = (7^{\frac{15}{16}})^{\frac{2}{3}} = 7^{\frac{15}{16} \cdot \frac{2}{3}} = 7^{\frac{30}{48}} = 7^{\frac{5}{8}}$

次に、$\sqrt{(\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}})^{2/3}}$を計算します。

$\sqrt{(\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}})^{2/3}} = \sqrt{7^{\frac{5}{8}}} = 7^{\frac{5}{16}}$

最後に、$\frac{1}{\sqrt[2]{7}} \sqrt{(\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}})^{2/3}}$を計算します。

$\frac{1}{\sqrt[2]{7}} \sqrt{(\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}})^{2/3}} = \frac{1}{7^{\frac{1}{2}}} \cdot 7^{\frac{5}{16}} = 7^{-\frac{1}{2} + \frac{5}{16}} = 7^{-\frac{8}{16} + \frac{5}{16}} = 7^{-\frac{3}{16}}$

3. 最終的な答え

$7^{-\frac{3}{16}}$