初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 2n + 3$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 - 2n + 3$ で表される数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ は以下の関係式で求めることができます。

* $n = 1$ のとき: $a_1 = S_1$

* $n \geq 2$ のとき: $a_n = S_n - S_{n-1}$

まず、$n=1$ のときを考えます。

$S_1 = 1^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

よって、$a_1 = S_1 = 2$ となります。

次に、$n \geq 2$ のときを考えます。

$a_n = S_n - S_{n-1}$ を計算します。

$S_n = n^2 - 2n + 3$

$S_{n-1} = (n-1)^2 - 2(n-1) + 3 = n^2 - 2n + 1 - 2n + 2 + 3 = n^2 - 4n + 6$

したがって、

$a_n = (n^2 - 2n + 3) - (n^2 - 4n + 6) = n^2 - 2n + 3 - n^2 + 4n - 6 = 2n - 3$

$a_n = 2n - 3$ (for $n \geq 2$)

$n = 1$ のとき $a_1 = 2(1) - 3 = -1$ となりますが、$a_1 = 2$ であったので、このままでは数列の一般項として表すことができません。

しかし、$a_1=2$なので、$a_n=2n-3$ は $n\geq 2$の場合の一般項です。

したがって、

$a_1 = 2$, $a_n = 2n-3$ ($n \geq 2$)

または、

$a_n = 2n-3$ としたとき $a_1 = -1 \neq S_1 = 2$ なので、条件を満たしません。

3. 最終的な答え

$a_1 = 2$

$a_n = 2n - 3$ ($n \geq 2$)