自然数の列が、第n群に2n個の自然数が入るように群に分けられている。 (1) 第1群から第n群までに含まれる数の個数を求める。 (2) 第n群の最初の自然数を求める。 (3) 第10群に含まれるすべての自然数の和を求める。 (4) 200が第何群の第何項か求める。

1. 問題の内容

自然数の列が、第n群に2n個の自然数が入るように群に分けられている。

(1) 第1群から第n群までに含まれる数の個数を求める。

(2) 第n群の最初の自然数を求める。

(3) 第10群に含まれるすべての自然数の和を求める。

(4) 200が第何群の第何項か求める。

2. 解き方の手順

(1) 第k群には2k個の自然数が含まれるので、第1群から第n群までに含まれる自然数の個数は、

$2 \times 1 + 2 \times 2 + ... + 2 \times n = 2(1 + 2 + ... + n)$

である。

$1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

より、

$2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

(2) 第n群の最初の自然数は、第1群から第(n-1)群までに含まれる自然数の個数+1である。(1)の結果より、第1群から第(n-1)群までに含まれる自然数の個数は(n-1)n個である。したがって、第n群の最初の自然数は(n-1)n + 1 = $n^2 - n + 1$となる。

(3) 第10群の最初の自然数は、$10^2 - 10 + 1 = 100 - 10 + 1 = 91$。

第10群には2*10 = 20個の自然数が含まれるので、第10群の最後の自然数は、91 + 19 = 110。

第10群に含まれるすべての自然数の和は、初項91、末項110、項数20の等差数列の和である。

したがって、和は、$\frac{20}{2}(91+110) = 10 \times 201 = 2010$

(4) 200が第N群にあるとする。まず、第N群の最初の自然数は$N^2 - N + 1$。

第N群までに含まれる自然数の数は$N(N+1)$である。

第N-1群までに含まれる自然数の数は$(N-1)N = N^2 - N$である。

$N^2 - N < 200 \leq N(N+1) = N^2+N$

$N=14$とすると、$14^2 - 14 = 196-14 = 182$

$14^2 + 14 = 196 + 14 = 210$

$N=14$のとき、第14群の最初の数は$14^2 - 14 + 1 = 196-14+1 = 183$

したがって、200は第14群に属する。

200は第14群の何番目か計算する。200-183+1 = 18。

したがって、200は第14群の18番目である。

3. 最終的な答え

(1) $n(n+1)$

(2) $n^2 - n + 1$

(3) 2010

(4) 第14群の18番目