数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$ および $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$ および $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を、$a_{n+1} + \alpha = 3(a_n + \alpha)$ の形に変形することを考えます。

この式を展開すると、$a_{n+1} + \alpha = 3a_n + 3\alpha$ となり、これは $a_{n+1} = 3a_n + 2\alpha$ と同等です。

したがって、$2\alpha = 4$ となる必要があり、$\alpha = 2$ を得ます。

よって、漸化式は、$a_{n+1} + 2 = 3(a_n + 2)$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となります。

これは、数列 $\{b_n\}$ が公比3の等比数列であることを意味します。

初項は、$b_1 = a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$ です。

したがって、$b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$ となります。

$a_n = b_n - 2$ であるから、$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$ となります。

整理すると、$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2 = \frac{4}{3} \cdot 3^n - 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{4}{3} \cdot 3^n - 2$

または

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$