太郎さんと花子さんがそれぞれ以下の問題を解いています。 問題1: $a > 0$, $b > 0$ のとき, $(a + \frac{4}{b})(4b + \frac{1}{a})$ の最小値を求めよ。 問題2: $a > 0$ のとき, $(a + \frac{9}{a})(9a + \frac{1}{a})$ の最小値を求めよ。 太郎さんと花子さんはそれぞれ解答を書きました。問題は、太郎さんの解答の一部と、花子さんの解答の一部が空欄になっているので、そこを埋める問題です。さらに、太郎さんと花子さんのどちらの解答が正しいかを判定し、間違っている場合は正しい答えを答える問題です。

1. 問題の内容

太郎さんと花子さんがそれぞれ以下の問題を解いています。

問題1: $a > 0$, $b > 0$ のとき, $(a + \frac{4}{b})(4b + \frac{1}{a})$ の最小値を求めよ。

問題2: $a > 0$ のとき, $(a + \frac{9}{a})(9a + \frac{1}{a})$ の最小値を求めよ。

太郎さんと花子さんはそれぞれ解答を書きました。問題は、太郎さんの解答の一部と、花子さんの解答の一部が空欄になっているので、そこを埋める問題です。さらに、太郎さんと花子さんのどちらの解答が正しいかを判定し、間違っている場合は正しい答えを答える問題です。

2. 解き方の手順

(1) 太郎さんの解答の空欄を埋めます。

A: $a > 0$, $\frac{4}{b} > 0$, $4b > 0$, $\frac{1}{a} > 0$

B: 相加平均と相乗平均の大小関係より、

$a + \frac{4}{b} \geq 2 \sqrt{a \cdot \frac{4}{b}} = 2 \sqrt{\frac{4a}{b}} = 4\sqrt{\frac{a}{b}}$

C: 同様に

$4b + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{4b \cdot \frac{1}{a}} = 2 \sqrt{\frac{4b}{a}} = 4\sqrt{\frac{b}{a}}$

$B, C$より

$(a + \frac{4}{b})(4b + \frac{1}{a}) \geq 4\sqrt{\frac{a}{b}} \cdot 4\sqrt{\frac{b}{a}} = 16$

従って求める最小値は16。

$A \sim C$ が数学的に正しくなるように、

$a = \frac{4}{b}$ かつ $4b = \frac{1}{a}$ のとき等号が成立します。

すなわち $ab = 4$ かつ $ab = \frac{1}{4}$ となり、これは同時に成立しません。

$a = \frac{4}{b}$ かつ $4b = \frac{1}{a}$ を同時に満たす$a, b$が存在しないので、A～Cが数学的に正しくなるように

に当てはまる数を求める問題において、A～Cに書かれている内容は数学的に正しいです。よって埋めるべき箇所はありません。

(2) 花子さんの解答の空欄を埋めます。

$a > 0$, $\frac{9}{a} > 0$, $9a > 0$, $\frac{1}{a} > 0$

B':

$a + \frac{9}{a} \geq 2 \sqrt{a \cdot \frac{9}{a}} = 2 \sqrt{9} = 6$

C':

$9a + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{9a \cdot \frac{1}{a}} = 2 \sqrt{9} = 6$

B', C'より

$(a + \frac{9}{a})(9a + \frac{1}{a}) \geq 6 \cdot 6 = 36$

求める最小値は36。

$A' \sim C'$ が数学的に正しくなるように

$a = \frac{9}{a}$ かつ $9a = \frac{1}{a}$ のとき等号が成立します。

すなわち $a^2 = 9$ かつ $9a^2 = 1$ となります。

$a^2 = 9$ より $a = 3$, $a>0$

$9a^2 = 1$ より $a^2 = \frac{1}{9}$ よって $a = \frac{1}{3}$。

$a$の値が異なるので同時に成立しません。

3. 最終的な答え

(1) 太郎さんの解答

ア：なし, イ：なし, ウ：なし

(2) 花子さんの解答

エ：なし, オ：なし