与えられた積分 $\int e^{2x} \sin x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int e^{2x} \sin x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回適用することで解くことができます。

まず、$u = \sin x$, $dv = e^{2x} dx$ とおきます。すると、$du = \cos x \, dx$ となり、$v = \int e^{2x} dx = \frac{1}{2} e^{2x}$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用いると、

$\int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \int \frac{1}{2} e^{2x} \cos x \, dx$

$= \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x \, dx$

次に、$\int e^{2x} \cos x \, dx$ を部分積分で計算します。$u = \cos x$, $dv = e^{2x} dx$ とおくと、$du = -\sin x \, dx$ となり、$v = \frac{1}{2} e^{2x}$ となります。再び部分積分の公式を用いると、

$\int e^{2x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x - \int \frac{1}{2} e^{2x} (-\sin x) \, dx$

$= \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x \, dx$

これを最初の式に代入します。

$\int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x \, dx \right)$

$\int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x - \frac{1}{4} \int e^{2x} \sin x \, dx$

ここで、$I = \int e^{2x} \sin x \, dx$ とおくと、

$I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x - \frac{1}{4} I$

$I + \frac{1}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x$

$\frac{5}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x$

$I = \frac{4}{5} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x \right)$

$I = \frac{2}{5} e^{2x} \sin x - \frac{1}{5} e^{2x} \cos x + C$

$I = \frac{1}{5} e^{2x} (2 \sin x - \cos x) + C$

3. 最終的な答え

$\int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{1}{5} e^{2x} (2 \sin x - \cos x) + C$