$DE // BC$、かつ$EF:FB = 3:2$のとき、$x$の値を求めなさい。ここで、$DE = 9 \text{ cm}$、$BC = 18 \text{ cm}$、$FB = x \text{ cm}$です。

1. 問題の内容

$DE // BC$、かつ$EF:FB = 3:2$のとき、$x$の値を求めなさい。ここで、$DE = 9 \text{ cm}$、$BC = 18 \text{ cm}$、$FB = x \text{ cm}$です。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ADE$と$\triangle ABC$が相似であることを示します。

$DE // BC$なので、$\angle ADE = \angle ABC$かつ$\angle AED = \angle ACB$です。

したがって、$\triangle ADE \sim \triangle ABC$です。

相似比は$AD:AB = DE:BC$なので、

$AD:AB = 9:18 = 1:2$

$AB = AD + DB$なので、$AD:AD+DB=1:2$より、$2AD = AD + DB$。よって、$AD = DB$。

次に、$EF:FB = 3:2$より、$EF:x = 3:2$。したがって、$EF = \frac{3}{2}x$

$\triangle EFG \sim \triangle CBG$なので、$EF:BC = FG:BG$

$EF:BC = \frac{3}{2}x:18$。

$BG = BF+FG=x+FG$。よって、$EF:BC = FG:(x+FG)$。

$\triangle ADF$ と $\triangle ABG$について考える。

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$より、$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}$。

$AD = BD$なので、$AD = x$。よって、$AB = AD + DB = 2x$。

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$より、$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。したがって、$\frac{x}{2x} = \frac{9}{18}$。これは常に成り立つ。

$DE // BC$なので、$\triangle DEF$と$\triangle BCF$を比較することを考えます。

$EF:FB = 3:2$より、$EF = \frac{3}{2}FB$

$\triangle DEF \sim \triangle CBF$ではないので、別の方法を考えます。

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$なので、$AD:AB = DE:BC = 9:18 = 1:2$

したがって、$AD=DB$

$EF:FB = 3:2$であり、$DE//BC$なので、$\triangle DEF$と$\triangle CBF$が相似であるとは言えません。

$\triangle AEF$と$\triangle ABC$が相似でないか検討する。

$AE:AC = AF:AB = EF:BC$

別の解法を検討する。

$AD:AB = AE:AC = 1:2$。

$EF:FB=3:2$なので、$DE$と$BC$の間にある$F$という点が存在する。

$AD:DB = 1:1$であり、$EF:FB=3:2$なので、相似を使って解くことは困難。

$x=6$を仮定して計算してみる。

$AB = 2AD$。$AD=DB=x$なので、$x=6$とすると、$AB=12$。

$EF:FB=3:2$より、$EF:6=3:2$。$EF=9$。

3. 最終的な答え

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