与えられた3次式 $x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、因数定理を使って、この多項式の根を探します。多項式の定数項である-8の約数（±1, ±2, ±4, ±8）を試してみます。

x=2を代入すると、

$2^3 - 3(2^2) + 6(2) - 8 = 8 - 12 + 12 - 8 = 0$

となるので、x=2はこの多項式の根です。したがって、$x-2$ は与えられた多項式の因数です。

次に、多項式を $x-2$ で割ります。

$x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ を $x-2$ で割ると、$x^2 - x + 4$ が得られます。

$$$$

\begin{array}{c|cc cc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & -x & +4 \\

\cline{2-5}

x-2 & x^3 & -3x^2 & +6x & -8 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & -2x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & -x^2 & +6x \\

\multicolumn{2}{r}{} & -x^2 & +2x \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4x & -8 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & 4x & -8 \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}

$$$$

$x^2 - x + 4$ はこれ以上実数の範囲で因数分解できません。なぜなら判別式 $D = (-1)^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15 < 0$ だからです。

したがって、$x^3 - 3x^2 + 6x - 8 = (x-2)(x^2 - x + 4)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x-2)(x^2 - x + 4)$