数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$ および $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$ および $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を解くために、特性方程式を利用します。

特性方程式を $x = 3x + 4$ とおきます。

これを解くと、$x = -2$ となります。

そこで、漸化式を次のように変形します。

$a_{n+1} + 2 = 3(a_n + 2)$

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となります。

これは公比が3の等比数列であり、初項は $b_1 = a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$ です。

したがって、$b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$ となります。

$a_n = b_n - 2$ なので、

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$

となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$