数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その初項と漸化式はそれぞれ $a_1 = 2$、$a_{n+1} = 3a_n + 4$ である。この数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その初項と漸化式はそれぞれ $a_1 = 2$、$a_{n+1} = 3a_n + 4$ である。この数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を解くために、特性方程式を用いる。特性方程式は $x = 3x + 4$ となり、これを解くと $x = -2$ である。

そこで、$a_{n+1} + 2 = 3(a_n + 2)$ という形に変形できる。

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となる。これは公比が $3$ の等比数列である。

初項 $b_1$ は $b_1 = a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$ である。

したがって、$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = 4 \cdot 3^{n-1}$ となる。

$a_n = b_n - 2$ より、$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$ である。

3. 最終的な答え

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$