全体集合 $U$ を $0 < x < 10$ を満たす有理数の集合とし、部分集合 $A$, $B$, $C$ をそれぞれ、 $A = \{x | x \in U かつ x は整数\}$ $B = \{x | x \in U かつ 3x は整数\}$ $C = \{x | x \in U かつ \sqrt{3x} は整数\}$ とする。 (1) 集合 $B$ の要素のうち、最小のものと最大のものを求める。 (2) $\sqrt{3} \in \overline{A}$, $\frac{4}{3} \in B$, $A \cap \overline{B} = \emptyset$ の正誤の組み合わせを求める。 (3) $A \cap C$ の要素を求め、$B \cap C$ の要素のうち、小さい方から2番目のものを求める。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を $0 < x < 10$ を満たす有理数の集合とし、部分集合 $A$, $B$, $C$ をそれぞれ、

$A = \{x | x \in U かつ x は整数\}$

$B = \{x | x \in U かつ 3x は整数\}$

$C = \{x | x \in U かつ \sqrt{3x} は整数\}$

とする。

(1) 集合 $B$ の要素のうち、最小のものと最大のものを求める。

(2) $\sqrt{3} \in \overline{A}$, $\frac{4}{3} \in B$, $A \cap \overline{B} = \emptyset$ の正誤の組み合わせを求める。

(3) $A \cap C$ の要素を求め、$B \cap C$ の要素のうち、小さい方から2番目のものを求める。

2. 解き方の手順

(1) $B = \{x | x \in U かつ 3x は整数\}$ より、$3x$ が整数となる $x$ を探す。$x$ は有理数で $0 < x < 10$ を満たす。

$x$ が最小となるのは、$3x = 1$ より $x = \frac{1}{3}$。

$x$ が最大となるのは、$3x = 29$ より $x = \frac{29}{3}$。

したがって、$B = \{\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1, \frac{4}{3}, \dots, \frac{29}{3}\}$

よって、$B$ の要素のうち最小のものは $\frac{1}{3}$、最大のものは $\frac{29}{3}$ である。

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(2) (I) $\sqrt{3} \in \overline{A}$ について。

$A$ は整数の集合であるから、$\sqrt{3}$ は $A$ に含まれない。したがって $\sqrt{3} \in \overline{A}$ は正しい。

(II) $\frac{4}{3} \in B$ について。

$3x$ が整数であれば $x \in B$ である。$3 \cdot \frac{4}{3} = 4$ は整数であるから $\frac{4}{3} \in B$ は正しい。

(III) $A \cap \overline{B} = \emptyset$ について。

$\overline{B}$ は $3x$ が整数でない $x$ の集合。

$A \cap \overline{B}$ は、整数であり、かつ $3x$ が整数でない $x$ の集合。

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ であり、

$3x$ が整数となる $x \in A$ は $x \in A$ のすべての要素であるため、

$A \cap \overline{B} = \emptyset$ は正しい。

したがって、(I), (II), (III) 全て正しいので、解答群から正しい組み合わせを選ぶ。

(3) $C = \{x | x \in U かつ \sqrt{3x} は整数\}$ について。

$\sqrt{3x} = n$ （nは整数）とすると、$3x = n^2$ より、$x = \frac{n^2}{3}$。

$A \cap C$ の要素は、整数である $x$ で、$\sqrt{3x}$ も整数であるもの。

$x = \frac{n^2}{3}$ が整数となるには $n$ が 3 の倍数である必要がある。

$n = 3k$ とすると、$x = \frac{(3k)^2}{3} = \frac{9k^2}{3} = 3k^2$。

$0 < x < 10$ であるから、$0 < 3k^2 < 10$ より $0 < k^2 < \frac{10}{3} \approx 3.33$。

したがって、$k = 1$ のとき $x = 3$。

$k = \sqrt{2}$ (このとき $k^2 = 2$) のとき $x = 3(2) = 6$。

$B \cap C$ の要素は、$3x$ が整数であり、かつ $\sqrt{3x}$ が整数であるもの。

$\sqrt{3x}$ が整数であれば、$3x$ も整数である。

$\sqrt{3x} = n$ とすると、$3x = n^2$。

$0 < x < 10$ なので、$0 < 3x < 30$。よって、$0 < n^2 < 30$。

$n = 1, 2, 3, 4, 5$ より、$x = \frac{1}{3}, \frac{4}{3}, \frac{9}{3} = 3, \frac{16}{3}, \frac{25}{3}$。

$B \cap C = \{\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, 3, \frac{16}{3}, \frac{25}{3}\}$。

小さい方から2番目の要素は $\frac{4}{3}$。

3. 最終的な答え

カ: 1/3

キ: 29/3

クケ: 0

コ: 0

サ: 0

シ: 3

ス: 4

セ: 3