曲線 $y=e^{-x}+1$ 上の点 $P(t, e^{-t}+1)$ における接線と $x$ 軸の交点を $Q$ とする。点 $P$ から $x$ 軸に垂線を引き、$x$ 軸との交点を $R$ とする。$\triangle PQR$ を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を $V(t)$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $V(t)$ を $t$ を用いて表せ。 (2) $V(t)$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y=e^{-x}+1$ 上の点 $P(t, e^{-t}+1)$ における接線と $x$ 軸の交点を $Q$ とする。点 $P$ から $x$ 軸に垂線を引き、$x$ 軸との交点を $R$ とする。$\triangle PQR$ を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を $V(t)$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $V(t)$ を $t$ を用いて表せ。

(2) $V(t)$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点 $P(t, e^{-t}+1)$ における接線の方程式を求める。

$y = e^{-x} + 1$ を微分すると、

$y' = -e^{-x}$

点 $P$ における接線の傾きは $-e^{-t}$ である。

よって、接線の方程式は

$y - (e^{-t} + 1) = -e^{-t}(x - t)$

$y = -e^{-t}x + te^{-t} + e^{-t} + 1$

次に、接線と $x$ 軸の交点 $Q$ の座標を求める。

$y = 0$ とすると、

$0 = -e^{-t}x + te^{-t} + e^{-t} + 1$

$e^{-t}x = te^{-t} + e^{-t} + 1$

$x = t + 1 + e^{t}$

したがって、$Q$ の座標は $(t+1+e^t, 0)$ である。

点 $R$ の座標は、点 $P$ から $x$ 軸に垂線を引いた交点なので、$(t, 0)$ である。

$QR$ の長さは $|(t+1+e^t) - t| = 1+e^t$

$PR$ の長さは $e^{-t} + 1$

$\triangle PQR$ を $x$ 軸のまわりに回転させた立体の体積 $V(t)$ は、底面の半径が $PR = e^{-t}+1$ で、高さが $QR = 1+e^t$ の円錐の体積に等しいので、

$V(t) = \frac{1}{3} \pi (e^{-t}+1)^2 (1+e^t)$

$V(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-2t} + 2e^{-t} + 1)(1+e^t)$

$V(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-2t} + e^{-t} + 2e^{-t} + 2 + 1 + e^t)$

$V(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-2t} + 3e^{-t} + e^t + 3)$

(2)

$V(t)$ の最小値を求めるために、$V'(t)$ を計算する。

$V'(t) = \frac{\pi}{3} (-2e^{-2t} - 3e^{-t} + e^t)$

$V'(t) = 0$ となる $t$ を求める。

$-2e^{-2t} - 3e^{-t} + e^t = 0$

両辺に $e^{2t}$ を掛けると、

$-2 - 3e^t + e^{3t} = 0$

$e^{3t} - 3e^t - 2 = 0$

$x = e^t$ とおくと、$x^3 - 3x - 2 = 0$

$(x+1)(x^2-x-2) = 0$

$(x+1)(x+1)(x-2) = 0$

$(x+1)^2 (x-2) = 0$

$x = -1, 2$

$e^t > 0$ より、$x = e^t = 2$

$t = \log 2$

$V''(t) = \frac{\pi}{3} (4e^{-2t} + 3e^{-t} + e^t)$

$V''(\log 2) = \frac{\pi}{3} (4e^{-2\log 2} + 3e^{-\log 2} + e^{\log 2})$

$V''(\log 2) = \frac{\pi}{3} (4e^{\log (1/4)} + 3e^{\log (1/2)} + 2) = \frac{\pi}{3} (4 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{2} + 2) = \frac{\pi}{3} (1 + \frac{3}{2} + 2) = \frac{\pi}{3} (\frac{9}{2}) = \frac{3\pi}{2} > 0$

したがって、$t = \log 2$ のとき、$V(t)$ は最小値をとる。

$V(\log 2) = \frac{\pi}{3} (e^{-2\log 2} + 3e^{-\log 2} + e^{\log 2} + 3)$

$= \frac{\pi}{3} (e^{\log (1/4)} + 3e^{\log (1/2)} + 2 + 3)$

$= \frac{\pi}{3} (\frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 5)$

$= \frac{\pi}{3} (\frac{1+6+20}{4}) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{27}{4} = \frac{9\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $V(t) = \frac{\pi}{3} (e^{-2t} + 3e^{-t} + e^t + 3)$

(2) $V(t)$ の最小値は $\frac{9\pi}{4}$