与えられた式 $2a^2 + ab - b^2 - 11a + b + 12$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2a^2 + ab - b^2 - 11a + b + 12$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$a$についての二次式と見て整理します。

$2a^2 + (b - 11)a - (b^2 - b - 12)$

定数項の $b^2 - b - 12$ を因数分解します。

$b^2 - b - 12 = (b-4)(b+3)$

したがって，与式は

$2a^2 + (b-11)a - (b-4)(b+3)$

$2a^2 + (b-11)a - (b-4)(b+3)$ を因数分解できると仮定し、$(pa + q)(ra + s)$の形になるはずだと考えます。$pr = 2$かつ$qs = -(b-4)(b+3)$となるようなp, q, r, sを探します。ここでは、$p=2, r=1$とし、q, sを$(b-4)$と$-(b+3)$と仮定します。

$(2a + (b-4))(a - (b+3)) = 2a^2 - 2a(b+3) + a(b-4) - (b-4)(b+3) = 2a^2 -2ab -6a + ab -4a - (b^2 - b - 12) = 2a^2 -ab - 10a - b^2 + b + 12$

となり、$a$の係数が一致しません。

そこで、q, sを$-(b-4)$と$(b+3)$と仮定します。

$(2a - (b-4))(a + (b+3)) = 2a^2 + 2a(b+3) - a(b-4) - (b-4)(b+3) = 2a^2 + 2ab + 6a - ab + 4a - (b^2 - b - 12) = 2a^2 + ab + 10a - b^2 + b + 12$

これも、$a$の係数が一致しません。

次に、$p=2, r=1$とし、q, sを$-(b+3)$と$(b-4)$と仮定します。

$(2a - (b+3))(a + (b-4)) = 2a^2 + 2a(b-4) - a(b+3) - (b+3)(b-4) = 2a^2 + 2ab - 8a - ab - 3a - (b^2 - b - 12) = 2a^2 + ab - 11a - b^2 + b + 12$

となり、一致しました。

3. 最終的な答え

$(2a - b - 3)(a + b - 4)$