関数 $f(t) = \frac{\pi}{3} (e^t + 1)^2 (e^t + 1)$ を微分してください。簡単にすると、$f(t) = \frac{\pi}{3} (e^t + 1)^3$ の微分を求めることになります。

1. 問題の内容

関数 $f(t) = \frac{\pi}{3} (e^t + 1)^2 (e^t + 1)$ を微分してください。簡単にすると、$f(t) = \frac{\pi}{3} (e^t + 1)^3$ の微分を求めることになります。

2. 解き方の手順

関数 $f(t) = \frac{\pi}{3} (e^t + 1)^3$ を微分します。

まず、定数倍の微分公式より、

$\frac{d}{dt} \left[ \frac{\pi}{3} (e^t + 1)^3 \right] = \frac{\pi}{3} \frac{d}{dt} (e^t + 1)^3$

次に、合成関数の微分（チェーンルール）を用います。

$u = e^t + 1$ とおくと、$f(t) = \frac{\pi}{3} u^3$ となります。

$\frac{df}{dt} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dt}$

$\frac{df}{du} = \frac{\pi}{3} \cdot 3u^2 = \pi u^2$

$\frac{du}{dt} = \frac{d}{dt} (e^t + 1) = e^t$

したがって、

$\frac{df}{dt} = \pi (e^t + 1)^2 \cdot e^t$

$\frac{df}{dt} = \pi e^t (e^t + 1)^2$

3. 最終的な答え

$\pi e^t (e^t + 1)^2$