(2) $x^3+3xy+y^3-1$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

(2) $x^3+3xy+y^3-1$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を以下のように変形します。

$x^3 + y^3 - 1 + 3xy$

ここで、$x^3+y^3+(-1)^3 -3(x)(y)(-1)$ という形に変形できれば、$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ という公式が使えます。

与えられた式と比較すると、定数項の符号が異なるため、$-1$を$(-1)^3$とみなし、$-3xy$を$3xy$ に変えることで、上記の公式が使える形になることを期待します。

そこで、$x^3+y^3+(-1)^3 - 3(x)(y)(-1)$ を計算してみます。

$x^3+y^3-1+3xy$ となり、これは問題文の式と同じです。

よって、$a=x, b=y, c=-1$ として、$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ に代入すると、

$x^3+y^3+(-1)^3-3(x)(y)(-1) = (x+y-1)(x^2+y^2+(-1)^2-xy-y(-1)-(-1)x)$

$x^3+y^3-1+3xy = (x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+y+x)$

したがって、因数分解の結果は $(x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+x+y)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)$