関数 $V(x) = \frac{\pi}{3} (e^{-x}+1)^2 (e^{x}+1)$ を $x$ について微分する。

1. 問題の内容

関数 $V(x) = \frac{\pi}{3} (e^{-x}+1)^2 (e^{x}+1)$ を $x$ について微分する。

2. 解き方の手順

まず、関数を整理します。

$V(x) = \frac{\pi}{3} (e^{-2x} + 2e^{-x} + 1) (e^{x}+1) = \frac{\pi}{3} (e^{-x} + 2 + e^{x} + e^{-2x} + 2e^{-x} + 1) = \frac{\pi}{3} (e^{-2x} + 4e^{-x} + e^{x} + 3)$

次に、この式を $x$ で微分します。

$\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} \frac{d}{dx} (e^{-2x} + 4e^{-x} + e^{x} + 3)$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx} e^{-2x} = -2e^{-2x}$

$\frac{d}{dx} 4e^{-x} = -4e^{-x}$

$\frac{d}{dx} e^{x} = e^{x}$

$\frac{d}{dx} 3 = 0$

したがって、

$\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} (-2e^{-2x} - 4e^{-x} + e^{x})$

$\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} (e^{x} - 4e^{-x} - 2e^{-2x})$

3. 最終的な答え

$\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} (e^{x} - 4e^{-x} - 2e^{-2x})$