関数 $V(x) = \frac{\pi}{3} (e^{-x} + 1)^2 (e^x + 1)$ を、$x$ について積の微分法を用いて微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $V(x) = \frac{\pi}{3} (e^{-x} + 1)^2 (e^x + 1)$ を、$x$ について積の微分法を用いて微分せよ。

2. 解き方の手順

$V(x) = \frac{\pi}{3} (e^{-x} + 1)^2 (e^x + 1)$ を微分します。まず、定数 $\frac{\pi}{3}$ は微分に影響しないので、最後に掛けます。

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いるため、関数を $u = (e^{-x} + 1)^2$ と $v = (e^x + 1)$ に分けます。

まず、$u$ を微分します。合成関数の微分法を用いると、

$u' = 2(e^{-x} + 1) \cdot (-e^{-x}) = -2e^{-x}(e^{-x} + 1)$

次に、$v$ を微分します。

$v' = e^x$

積の微分法を用いると、

$V'(x) = \frac{\pi}{3} [u'v + uv'] = \frac{\pi}{3} [ -2e^{-x}(e^{-x} + 1)(e^x + 1) + (e^{-x} + 1)^2 e^x ]$

整理すると、

$V'(x) = \frac{\pi}{3} [ -2(1 + e^{-x})(1 + e^x) + e^x (e^{-x} + 1)^2 ]$

$V'(x) = \frac{\pi}{3} [ -2(1 + e^x + e^{-x} + 1) + e^x (e^{-2x} + 2e^{-x} + 1) ]$

$V'(x) = \frac{\pi}{3} [ -2(2 + e^x + e^{-x}) + e^{-x} + 2 + e^x ]$

$V'(x) = \frac{\pi}{3} [ -4 - 2e^x - 2e^{-x} + e^{-x} + 2 + e^x ]$

$V'(x) = \frac{\pi}{3} [ -2 - e^x - e^{-x} ]$

$V'(x) = -\frac{\pi}{3} (e^x + e^{-x} + 2)$

3. 最終的な答え

$V'(x) = -\frac{\pi}{3} (e^x + e^{-x} + 2)$