与えられた式 $x^2+2ax-3a^2+4x+8a+3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2+2ax-3a^2+4x+8a+3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + 2ax + 4x -3a^2 + 8a + 3 = x^2 + (2a+4)x + (-3a^2 + 8a + 3)$

定数項 $-3a^2 + 8a + 3$ を因数分解します。

$-3a^2 + 8a + 3 = -(3a^2 - 8a - 3) = -(3a+1)(a-3) = (3a+1)(3-a)$

次に、与えられた式が $(x+p)(x+q)$ の形で因数分解できると仮定すると、

$x^2 + (2a+4)x + (-3a^2 + 8a + 3) = (x+p)(x+q) = x^2 + (p+q)x + pq$

したがって、$p+q = 2a+4$ かつ $pq = -3a^2 + 8a + 3 = (3a+1)(3-a)$ を満たす $p$ と $q$ を見つけます。

$p = 3a+1$ および $q = 3-a$ とすると、

$p+q = 3a+1 + 3-a = 2a + 4$

$pq = (3a+1)(3-a) = -3a^2 + 9a - a + 3 = -3a^2 + 8a + 3$

これらは一致します。

したがって、$x^2 + (2a+4)x + (-3a^2 + 8a + 3) = (x+3a+1)(x-a+3)$

3. 最終的な答え

$(x+3a+1)(x-a+3)$