次の式の分母を有理化します。 35a (1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (2) $\frac{3}{2\sqrt{5}}$ (3) $\frac{3}{3+\sqrt{3}}$ (4) $\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$ 35b (1) $\frac{6}{\sqrt{2}}$ (2) $\frac{3}{\sqrt{48}}$ (3) $\frac{2}{\sqrt{6}+2}$ (4) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

はい、承知いたしました。画像に写っている問題35aと35bについて、分母の有理化を行います。

1. 問題の内容

次の式の分母を有理化します。

35a

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) $\frac{3}{2\sqrt{5}}$

(3) $\frac{3}{3+\sqrt{3}}$

(4) $\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$

35b

(1) $\frac{6}{\sqrt{2}}$

(2) $\frac{3}{\sqrt{48}}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{6}+2}$

(4) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

35a

(1) 分母と分子に$\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) 分母と分子に$\sqrt{5}$を掛けます。

$\frac{3}{2\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2 \times 5} = \frac{3\sqrt{5}}{10}$

(3) 分母の共役な複素数$3-\sqrt{3}$を分母と分子に掛けます。

$\frac{3}{3+\sqrt{3}} = \frac{3(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{3(3-\sqrt{3})}{9-3} = \frac{3(3-\sqrt{3})}{6} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$

(4) 分母の共役な複素数$\sqrt{5}+2$を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} = \frac{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{(\sqrt{5}+2)^2}{5-4} = (\sqrt{5}+2)^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$

35b

(1) 分母と分子に$\sqrt{2}$を掛けます。

$\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$より、$\frac{3}{\sqrt{48}} = \frac{3}{4\sqrt{3}}$となる。分母と分子に$\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

(3) 分母の共役な複素数$\sqrt{6}-2$を分母と分子に掛けます。

$\frac{2}{\sqrt{6}+2} = \frac{2(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)} = \frac{2(\sqrt{6}-2)}{6-4} = \frac{2(\sqrt{6}-2)}{2} = \sqrt{6}-2$

(4) 分母の共役な複素数$\sqrt{7}-\sqrt{3}$を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{7-3} = \frac{7 - 2\sqrt{21} + 3}{4} = \frac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \frac{5 - \sqrt{21}}{2}$

3. 最終的な答え

35a

(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{3\sqrt{5}}{10}$

(3) $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$

(4) $9 + 4\sqrt{5}$

35b

(1) $3\sqrt{2}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{4}$

(3) $\sqrt{6}-2$

(4) $\frac{5 - \sqrt{21}}{2}$