与えられた根号を含む式を計算する問題です。34aと34bそれぞれに(1)(2)(3)の小問があります。

1. 問題の内容

与えられた根号を含む式を計算する問題です。34aと34bそれぞれに(1)(2)(3)の小問があります。

2. 解き方の手順

それぞれの小問ごとに、式の展開および簡略化を行います。

34a

(1) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - 3\sqrt{2})$

分配法則を用いて展開します。

$\sqrt{3} \times \sqrt{3} - 3\sqrt{3} \times \sqrt{2} + \sqrt{2} \times \sqrt{3} - 3\sqrt{2} \times \sqrt{2}$

$= 3 - 3\sqrt{6} + \sqrt{6} - 6$

$= -3 - 2\sqrt{6}$

(2) $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用します。

$(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

$= 3 - 2\sqrt{6} + 2$

$= 5 - 2\sqrt{6}$

(3) $(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を利用します。

$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2$

$= 5 - 3$

$= 2$

34b

(1) $(2\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{5})$

分配法則を用いて展開します。

$2\sqrt{3} \times \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \times \sqrt{5} - \sqrt{5} \times \sqrt{3} - \sqrt{5} \times \sqrt{5}$

$= 6 + 2\sqrt{15} - \sqrt{15} - 5$

$= 1 + \sqrt{15}$

(2) $(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を利用します。

$(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2$

$= 2 + 2\sqrt{12} + 6$

$= 8 + 2\sqrt{4 \times 3}$

$= 8 + 4\sqrt{3}$

(3) $(\sqrt{7} + 2\sqrt{5})(\sqrt{7} - 2\sqrt{5})$

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を利用します。

$(\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{5})^2$

$= 7 - 4 \times 5$

$= 7 - 20$

$= -13$

3. 最終的な答え

34a

(1) $-3 - 2\sqrt{6}$

(2) $5 - 2\sqrt{6}$

(3) $2$

34b

(1) $1 + \sqrt{15}$

(2) $8 + 4\sqrt{3}$

(3) $-13$