与えられた等式が正しいかどうか判定する問題です。問題の等式は次の通りです。 $\frac{\pi}{3}(e^x - 3e^{-x} + 2e^{-2x}) = -\frac{\pi}{3}(e^x + e^{-x} + 2)$

1. 問題の内容

与えられた等式が正しいかどうか判定する問題です。問題の等式は次の通りです。

$\frac{\pi}{3}(e^x - 3e^{-x} + 2e^{-2x}) = -\frac{\pi}{3}(e^x + e^{-x} + 2)$

2. 解き方の手順

左辺を変形して右辺と一致するかどうかを確認します。

左辺: $\frac{\pi}{3}(e^x - 3e^{-x} + 2e^{-2x})$

右辺: $-\frac{\pi}{3}(e^x + e^{-x} + 2)$

ここで、$e^x = t$ とおくと、$e^{-x} = \frac{1}{t}$ と $e^{-2x} = \frac{1}{t^2}$ となります。

左辺は以下のように書き換えられます。

$\frac{\pi}{3}(t - \frac{3}{t} + \frac{2}{t^2})$

通分すると以下のようになります。

$\frac{\pi}{3}(\frac{t^3 - 3t + 2}{t^2})$

分子を因数分解します。

$t^3 - 3t + 2 = (t-1)^2(t+2)$

したがって、

$\frac{\pi}{3}(\frac{(t-1)^2(t+2)}{t^2})$

$t = e^x$ を代入すると、

$\frac{\pi}{3}(\frac{(e^x-1)^2(e^x+2)}{e^{2x}})$

$=\frac{\pi}{3}(e^{-2x})(e^{2x} - 2e^x + 1)(e^x + 2)$

$=\frac{\pi}{3} (1 - 2e^{-x} + e^{-2x})(e^x+2)$

$=\frac{\pi}{3} (e^x+2-2+4e^{-x}+e^{-x}+2e^{-2x})$

$=\frac{\pi}{3} (e^x+5e^{-x}+2e^{-2x})$

右辺を変形すると、

$-\frac{\pi}{3}(e^x + e^{-x} + 2)$

$=-\frac{\pi}{3}(e^x + e^{-x} + 2)$

左辺と右辺は一致しません。

3. 最終的な答え

いいえ、等式は正しくありません。