与えられた等式が正しいかどうかを判定します。等式は以下の通りです。 $\frac{\pi}{3}(e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x}) = -\frac{\pi}{3}(e^x + e^{-x} + 2)$

1. 問題の内容

与えられた等式が正しいかどうかを判定します。等式は以下の通りです。

$\frac{\pi}{3}(e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x}) = -\frac{\pi}{3}(e^x + e^{-x} + 2)$

2. 解き方の手順

まず、両辺に $\frac{3}{\pi}$ を掛けて、式を簡略化します。

$e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x} = -(e^x + e^{-x} + 2)$

次に、右辺の括弧を外します。

$e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x} = -e^x - e^{-x} - 2$

次に、すべての項を左辺に移動します。

$e^x - 3e^{-x} - 2e^{-2x} + e^x + e^{-x} + 2 = 0$

同類項をまとめます。

$2e^x - 2e^{-x} - 2e^{-2x} + 2 = 0$

式全体を2で割ります。

$e^x - e^{-x} - e^{-2x} + 1 = 0$

$e^{-x} = \frac{1}{e^x}$ であることに注意し、式全体に $e^{2x}$ を掛けます。

$e^{3x} - e^x - 1 + e^{2x} = 0$

順番を整理します。

$e^{3x} + e^{2x} - e^x - 1 = 0$

式を因数分解します。

$e^{2x}(e^x + 1) - (e^x + 1) = 0$

$(e^{2x} - 1)(e^x + 1) = 0$

$(e^x - 1)(e^x + 1)(e^x + 1) = 0$

$(e^x - 1)(e^x + 1)^2 = 0$

この式が成り立つためには、$e^x - 1 = 0$ または $e^x + 1 = 0$ である必要があります。

$e^x - 1 = 0$ のとき $e^x = 1$ となり、$x = 0$ を得ます。

$e^x + 1 = 0$ のとき $e^x = -1$ となりますが、$e^x$ は常に正の値をとるため、この解は実数解を持ちません。

したがって、$x=0$は元の式を満たしているか確認します。

$\frac{\pi}{3}(e^0 - 3e^{-0} - 2e^{-2\cdot0}) = \frac{\pi}{3}(1-3-2) = \frac{\pi}{3}(-4) = -\frac{4\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{3}(e^0 + e^{-0} + 2) = -\frac{\pi}{3}(1+1+2) = -\frac{\pi}{3}(4) = -\frac{4\pi}{3}$

したがって、$x=0$は元の式を満たします。よって、与えられた等式は正しいです。

3. 最終的な答え

正しい