水槽に毎分$a$ Lの割合で給水する給水管Aと、毎分$b$ Lの割合で排水する排水管Bがある。最初に水槽には20Lの水が入っており、給水管Aを開き、水の量が120Lになったら給水管Aを閉じて、すぐに排水管Bを開く。水の量が60Lになったら排水管Bを閉じる。グラフは、水を入れ始めてから$x$分後の水槽内の水の量$y$ Lの関係を表す。 (1) $a$と$b$の値をそれぞれ求める。 (2) 5分後から15分後までの$x$と$y$の関係について、$y$を$x$の式で表す。 (3) 水が20L入っている状態から給水管Aと排水管Bを同時に開いたら、満水になるのに何分かかるか求める。ただし、水槽には180Lの水が入るものとする。

1. 問題の内容

水槽に毎分$a$ Lの割合で給水する給水管Aと、毎分$b$ Lの割合で排水する排水管Bがある。最初に水槽には20Lの水が入っており、給水管Aを開き、水の量が120Lになったら給水管Aを閉じて、すぐに排水管Bを開く。水の量が60Lになったら排水管Bを閉じる。グラフは、水を入れ始めてから$x$分後の水槽内の水の量$y$ Lの関係を表す。

(1) $a$と$b$の値をそれぞれ求める。

(2) 5分後から15分後までの$x$と$y$の関係について、$y$を$x$の式で表す。

(3) 水が20L入っている状態から給水管Aと排水管Bを同時に開いたら、満水になるのに何分かかるか求める。ただし、水槽には180Lの水が入るものとする。

2. 解き方の手順

(1)

グラフより、0分から5分で20Lから120Lになったので、5分で100L増えたことになる。

したがって、$5a = 120 - 20 = 100$。

$a = \frac{100}{5} = 20$ L/分。

次に、5分から15分で120Lから60Lになったので、10分で60L減ったことになる。

したがって、$10b = 120 - 60 = 60$。

$b = \frac{60}{10} = 6$ L/分。

(2)

5分から15分後の直線の式を求める。

この直線は点(5, 120)と点(15, 60)を通る。

傾きは$\frac{60 - 120}{15 - 5} = \frac{-60}{10} = -6$。

よって、$y = -6x + c$。

点(5, 120)を通るので、$120 = -6(5) + c$。

$120 = -30 + c$。

$c = 150$。

したがって、$y = -6x + 150$。

(3)

給水管Aと排水管Bを同時に開いたとき、毎分$a - b$ L水が増える。

$a - b = 20 - 6 = 14$ L/分。

水が20L入っている状態から満水になるまで、あと$180 - 20 = 160$ L必要である。

したがって、$\frac{160}{14} = \frac{80}{7}$ 分かかる。

3. 最終的な答え

(1) $a = 20$, $b = 6$

(2) $y = -6x + 150$

(3) $\frac{80}{7}$ 分