数列 $a_1, a_2, a_3, \dots$ は公差 $d$ ($d \neq 0$) の等差数列である。その中の4項 $a_1, a_2, a_3, a_n$ が等比数列になっているとき、$d = 7a_1$ であり、$n$ を求める問題。

1. 問題の内容

数列 $a_1, a_2, a_3, \dots$ は公差 $d$ ($d \neq 0$) の等差数列である。その中の4項 $a_1, a_2, a_3, a_n$ が等比数列になっているとき、$d = 7a_1$ であり、$n$ を求める問題。

2. 解き方の手順

$a_1, a_2, a_3, a_n$ が等比数列であることから、

$a_2 = a_1 + d$

$a_3 = a_1 + 2d$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

が成り立つ。

また、等比数列の性質から、$a_2/a_1 = a_3/a_2$ および $a_3/a_2 = a_n/a_3$が成り立つ。

まず、$a_2/a_1 = a_3/a_2$ から、

$\frac{a_1 + d}{a_1} = \frac{a_1 + 2d}{a_1 + d}$

$(a_1 + d)^2 = a_1(a_1 + 2d)$

$a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1^2 + 2a_1d$

$d^2 = 0$

しかし、$d \neq 0$ なので矛盾。

したがって、問題文が間違っているか、または $a_1 = a_{i_1}, a_2 = a_{i_2}, a_3 = a_{i_3}, a_n = a_{i_4}$ のように添え字が並んでいない可能性がある。

もし、$a_1, a_2, a_4$ が等比数列だとすると、

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_4}{a_2}$

$a_2^2 = a_1 a_4$

$(a_1 + d)^2 = a_1(a_1 + 3d)$

$a_1^2 + 2a_1 d + d^2 = a_1^2 + 3a_1 d$

$d^2 = a_1 d$

$d(d - a_1) = 0$

$d \neq 0$ より、$d = a_1$

問題では、$d = 7a_1$ とあるので、

$a_2/a_1 = a_3/a_2$ を用いることにする。

等比中項の関係から$a_2^2 = a_1 a_3$なので、$d^2 = 0$となり矛盾する。

したがって、$a_1, a_2, a_3, a_n$ が等比数列になることはない。

$d=7a_1$なので、$a_1 = a_1, a_2 = a_1 + 7a_1 = 8a_1, a_3 = a_1 + 14a_1 = 15a_1$.

$a_1, a_2, a_4$ が等比数列であれば、$a_2^2 = a_1 a_4$より、$64a_1^2 = a_1 a_4$なので、$a_4 = 64a_1$.

$a_4 = a_1 + 3d = a_1 + 21a_1 = 22a_1$なので、$a_4 = 64a_1$と矛盾する。

$a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_n$が等比数列という仮定はおかしい。

もし $a_2, a_3, a_n$ が等比数列をなすならば、$a_1, a_2, a_3, a_n$は等比数列にはならない。

$a_n=a_4$の場合、$a_1 = a_1, a_2 = a_1 + d, a_3 = a_1 + 2d, a_4=a_1+3d$.

もし $a_1 = a, a_2 = ar, a_3 = ar^2, a_n=ar^3$となる $a,r$ が存在すると仮定する。

$d = a(r-1), d = a(r^2-r)$. よって$r=2$.

$a_n = a + (n-1)d = a + (n-1)a=a + 7a(n-1) = ar^3 = 8a$.

$7(n-1) = 7, n-1=1$. $n=2$, これは不適。

もし、$a_1 = 1$ とすれば、$d = 7$となり、$a_2=8, a_3=15, a_4=22, \dots$となる。

$1,8,15$は等比数列にならない。

もし$1,8,a_n$ が等比数列であれば、$a_n=64$. $1 + 7(n-1) =

6

4. 7(n-1) = 63$. よって$n=10$.

問題文が $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_n$が等比数列という前提がおかしい。

$d = 7a_1$が与えられているので、$a_1, a_2, a_3, \dots$が等差数列となっている。

n=4の時を考えて、$a_4 = 64a_1 = a_1+(n-1)d = a_1 + (n-1)7a_1$, よって、$63a_1= (n-1)7a_1$, つまり$9 = n-1$, ゆえにn=10

3. 最終的な答え

10