問題8(2): 式 $(a+b+c)^2 - (a-b-c)^2$ を計算せよ。 問題9(1): 式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24$ を因数分解せよ。 問題10: $x+y+z=2$ かつ $xy+yz+zx=-1$ のとき、$x^2+y^2+z^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題8(2): 式 $(a+b+c)^2 - (a-b-c)^2$ を計算せよ。

問題9(1): 式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24$ を因数分解せよ。

問題10: $x+y+z=2$ かつ $xy+yz+zx=-1$ のとき、$x^2+y^2+z^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

**問題8(2)**

1. 和と差の積の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用する。$A = a+b+c$, $B = a-b-c$ とおく。

2. $A+B$ と $A-B$ を計算する。

$A+B = (a+b+c) + (a-b-c) = 2a$

$A-B = (a+b+c) - (a-b-c) = 2b+2c = 2(b+c)$

3. $(A+B)(A-B)$ を計算する。

$(A+B)(A-B) = (2a)(2(b+c)) = 4a(b+c) = 4ab+4ac$

**問題9(1)**

1. 式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$ を因数分解する。

$(x+1)(x+4)$ と $(x+2)(x+3)$ をそれぞれ計算する。

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

2. $A = x^2 + 5x$ と置換する。すると与式は

$(A+4)(A+6) - 24 = A^2 + 10A + 24 - 24 = A^2 + 10A = A(A+10)$

3. $A$ を元に戻す。

$A(A+10) = (x^2+5x)(x^2+5x+10) = x(x+5)(x^2+5x+10)$

**問題10**

1. $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)$ の公式を利用する。

2. $x+y+z=2$ と $xy+yz+zx = -1$ を代入する。

$(2)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(-1)$

$4 = x^2+y^2+z^2 - 2$

3. $x^2+y^2+z^2$ について解く。

$x^2+y^2+z^2 = 4+2 = 6$

3. 最終的な答え

問題8(2): $4ab+4ac$

問題9(1): $x(x+5)(x^2+5x+10)$

問題10: $6$