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与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$ を因数分解します。

代数学因数分解多項式
2025/8/8

1. 問題の内容

与えられた式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)−24(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24 を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) の部分を工夫して展開します。
定数項の和が等しくなるように(x+1)(x+1)と(x+4)(x+4)、(x+2)(x+2)と(x+3)(x+3)をそれぞれペアにして展開します。
(x+1)(x+4)=x2+5x+4(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4
(x+2)(x+3)=x2+5x+6(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6
ここで、A=x2+5xA = x^2 + 5x とおくと、元の式は
(A+4)(A+6)−24(A + 4)(A + 6) - 24
と表せます。これを展開すると、
A2+10A+24−24=A2+10A=A(A+10)A^2 + 10A + 24 - 24 = A^2 + 10A = A(A+10)
となります。
AA を x2+5xx^2 + 5x に戻すと、
(x2+5x)(x2+5x+10)=x(x+5)(x2+5x+10)(x^2 + 5x)(x^2 + 5x + 10) = x(x+5)(x^2+5x+10)
となります。

3. 最終的な答え

x(x+5)(x2+5x+10)x(x+5)(x^2+5x+10)

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