与えられた3次方程式 $x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。このとき、3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の解が $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ となるように、実数 $a, b, c$ を定める。特に $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$ の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。このとき、3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の解が $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ となるように、実数 $a, b, c$ を定める。特に $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を用いる。

与えられた方程式 $x^3 - 2x^2 + x - 1 = 0$ の解が $\alpha, \beta, \gamma$ であるから、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta + \gamma = 2$$

$$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 1$$

$$\alpha \beta \gamma = 1$$

次に、求める方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の解が $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ であるから、解と係数の関係より、

$$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = -a$$

$$\alpha^2 \beta^2 + \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \alpha^2 = b$$

$$\alpha^2 \beta^2 \gamma^2 = -c$$

$\alpha^2 \beta^2 \gamma^2 = (\alpha \beta \gamma)^2$ であるから、

$$-c = (\alpha \beta \gamma)^2 = 1^2 = 1$$

よって、$c = -1$

3. 最終的な答え

$c = -1$