毎分$a$Lの割合で給水する給水管Aと、毎分$b$Lの割合で排水する排水管Bがある水槽について、以下の問いに答えます。 (1) $a$と$b$の値を求めます。 (2) 5分後から15分後までの$x$と$y$の関係を$y$を$x$の式で表します。 (3) 水が20L入っている状態から給水管Aと排水管Bを同時に開いたら、満水になるのに何分かかるか求めます。ただし、この水槽には180Lの水が入るものとします。

1. 問題の内容

毎分$a$Lの割合で給水する給水管Aと、毎分$b$Lの割合で排水する排水管Bがある水槽について、以下の問いに答えます。

(1) $a$と$b$の値を求めます。

(2) 5分後から15分後までの$x$と$y$の関係を$y$を$x$の式で表します。

(3) 水が20L入っている状態から給水管Aと排水管Bを同時に開いたら、満水になるのに何分かかるか求めます。ただし、この水槽には180Lの水が入るものとします。

2. 解き方の手順

(1) $a$と$b$の値を求める。

グラフより、0分から5分で水の量が20Lから120Lに増えている。

つまり、5分間で100L増えているので、$5a = 120 - 20 = 100$。

したがって、$a = 20$。

次に、5分から15分で水の量が120Lから60Lに減っている。

つまり、10分間で60L減っているので、$10b = 120 - 60 = 60$。

したがって、$b = 6$。

(2) 5分後から15分後までの$x$と$y$の関係を$y$を$x$の式で表す。

5分後の点の座標は(5, 120)、15分後の点の座標は(15, 60)。

直線の傾きは$\frac{60-120}{15-5} = \frac{-60}{10} = -6$。

よって、直線の式は$y = -6x + c$と表せる。

(5, 120)を代入すると、$120 = -6(5) + c$より、$c = 120 + 30 = 150$。

したがって、$y = -6x + 150$。

(3) 水が20L入っている状態から給水管Aと排水管Bを同時に開いたら、満水になるのに何分かかるかを求める。

毎分$a-b = 20-6 = 14$Lずつ水が増える。

満水になるのは180Lなので、あと160L水を入れる必要がある。

$180-20 = 160$L

したがって、かかる時間は$\frac{160}{14} = \frac{80}{7}$分。

3. 最終的な答え

(1) $a=20, b=6$

(2) $y = -6x + 150$

(3) $\frac{80}{7}$分