(1) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ とする。$\sin\alpha = \frac{1}{3}$, $\cos\beta = \frac{2}{5}$ のとき、$\sin(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $\sin\theta = \frac{3}{5}$ ($\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$) のとき、$\sin2\theta$, $\cos2\theta$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) $\sin^2\frac{2\pi}{8}$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ とする。$\sin\alpha = \frac{1}{3}$, $\cos\beta = \frac{2}{5}$ のとき、$\sin(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $\sin\theta = \frac{3}{5}$ ($\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$) のとき、$\sin2\theta$, $\cos2\theta$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) $\sin^2\frac{2\pi}{8}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin\alpha = \frac{1}{3}$ より、$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$。

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\cos\alpha < 0$ なので、$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

$\cos\beta = \frac{2}{5}$ より、$\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$。

$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ より、$\sin\beta > 0$ なので、$\sin\beta = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}$。

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} + (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{2}{15} - \frac{2\sqrt{42}}{15} = \frac{2 - 2\sqrt{42}}{15}$。

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) \cdot \frac{2}{5} - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = -\frac{4\sqrt{2}}{15} - \frac{\sqrt{21}}{15} = \frac{-4\sqrt{2} - \sqrt{21}}{15}$。

(2)

$\sin\theta = \frac{3}{5}$ より、$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$。

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\cos\theta < 0$ なので、$\cos\theta = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$。

$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (-\frac{4}{5}) = -\frac{24}{25}$。

$\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = (\frac{-4}{5})^2 - (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$。

(3)

$\sin^2\frac{2\pi}{8} = \sin^2\frac{\pi}{4} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $\sin(\alpha+\beta) = \frac{2 - 2\sqrt{42}}{15}$, $\cos(\alpha+\beta) = \frac{-4\sqrt{2} - \sqrt{21}}{15}$

(2) $\sin2\theta = -\frac{24}{25}$, $\cos2\theta = \frac{7}{25}$

(3) $\sin^2\frac{2\pi}{8} = \frac{1}{2}$