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(1) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ とする。$\sin\alpha = \frac{1}{3}$, $\cos\beta = \frac{2}{5}$ のとき、$\sin(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $\sin\theta = \frac{3}{5}$ ($\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$) のとき、$\sin2\theta$, $\cos2\theta$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) $\sin^2\frac{2\pi}{8}$ の値を求めよ。

解析学三角関数加法定理倍角の公式三角関数の値
2025/3/18
はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) π2<α<π\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi, 0<β<π20 < \beta < \frac{\pi}{2} とする。sin⁡α=13\sin\alpha = \frac{1}{3}, cos⁡β=25\cos\beta = \frac{2}{5} のとき、sin⁡(α+β)\sin(\alpha+\beta), cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) の値をそれぞれ求めよ。
(2) sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5} (π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi) のとき、sin⁡2θ\sin2\theta, cos⁡2θ\cos2\theta の値をそれぞれ求めよ。
(3) sin⁡22π8\sin^2\frac{2\pi}{8} の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)
sin⁡α=13\sin\alpha = \frac{1}{3} より、cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−(13)2=1−19=89\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}。
π2<α<π\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi より、cos⁡α<0\cos\alpha < 0 なので、cos⁡α=−89=−223\cos\alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}。
cos⁡β=25\cos\beta = \frac{2}{5} より、sin⁡2β=1−cos⁡2β=1−(25)2=1−425=2125\sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - (\frac{2}{5})^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}。
0<β<π20 < \beta < \frac{\pi}{2} より、sin⁡β>0\sin\beta > 0 なので、sin⁡β=2125=215\sin\beta = \sqrt{\frac{21}{25}} = \frac{\sqrt{21}}{5}。
sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=13⋅25+(−223)⋅215=215−24215=2−24215\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} + (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{2}{15} - \frac{2\sqrt{42}}{15} = \frac{2 - 2\sqrt{42}}{15}。
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=(−223)⋅25−13⋅215=−4215−2115=−42−2115\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = (-\frac{2\sqrt{2}}{3}) \cdot \frac{2}{5} - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{5} = -\frac{4\sqrt{2}}{15} - \frac{\sqrt{21}}{15} = \frac{-4\sqrt{2} - \sqrt{21}}{15}。
(2)
sin⁡θ=35\sin\theta = \frac{3}{5} より、sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta。
cos⁡2θ=1−sin⁡2θ=1−(35)2=1−925=1625\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}。
π2<θ<π\frac{\pi}{2} < \theta < \pi より、cos⁡θ<0\cos\theta < 0 なので、cos⁡θ=−1625=−45\cos\theta = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}。
sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅35⋅(−45)=−2425\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (-\frac{4}{5}) = -\frac{24}{25}。
cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=(−45)2−(35)2=1625−925=725\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = (\frac{-4}{5})^2 - (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}。
(3)
sin⁡22π8=sin⁡2π4=(22)2=24=12\sin^2\frac{2\pi}{8} = \sin^2\frac{\pi}{4} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}。

3. 最終的な答え

(1) sin⁡(α+β)=2−24215\sin(\alpha+\beta) = \frac{2 - 2\sqrt{42}}{15}, cos⁡(α+β)=−42−2115\cos(\alpha+\beta) = \frac{-4\sqrt{2} - \sqrt{21}}{15}
(2) sin⁡2θ=−2425\sin2\theta = -\frac{24}{25}, cos⁡2θ=725\cos2\theta = \frac{7}{25}
(3) sin⁡22π8=12\sin^2\frac{2\pi}{8} = \frac{1}{2}

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