$\frac{\pi}{3}(-3e^t - 2e^{-2t} + e^t)$ を因数分解して、$\frac{\pi}{3}(e^t + 1)^2(e^t - 2)$ になることを示してください。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{3}(-3e^t - 2e^{-2t} + e^t)$ を因数分解して、$\frac{\pi}{3}(e^t + 1)^2(e^t - 2)$ になることを示してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\frac{\pi}{3}(-3e^t - 2e^{-2t} + e^t) = \frac{\pi}{3}(-2e^t - 2e^{-2t})$

$\frac{\pi}{3}(-2e^t - 2e^{-2t}) = -\frac{2\pi}{3}(e^t + e^{-2t})$

次に、$e^t = x$ と置くと、$e^{-2t} = (e^t)^{-2} = x^{-2}$ となります。

したがって、式は次のようになります。

$-\frac{2\pi}{3}(x + \frac{1}{x^2})$

共通分母でまとめます。

$-\frac{2\pi}{3}(\frac{x^3 + 1}{x^2})$

分子を因数分解します。$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式より、$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$ なので、

$-\frac{2\pi}{3} \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{x^2}$

$x = e^t$ に戻すと、

$-\frac{2\pi}{3} \frac{(e^t+1)(e^{2t}-e^t+1)}{e^{2t}}$

目標は $\frac{\pi}{3}(e^t + 1)^2(e^t - 2)$ なので、今の形からどのように持っていくか考えます。そもそも与えられた問題と答えが一致していないように見えます。計算間違いがないか確認のため、与えられた解を展開します。

$\frac{\pi}{3}(e^t + 1)^2(e^t - 2) = \frac{\pi}{3}(e^{2t} + 2e^t + 1)(e^t - 2) = \frac{\pi}{3}(e^{3t} - 2e^{2t} + 2e^{2t} - 4e^t + e^t - 2) = \frac{\pi}{3}(e^{3t} - 3e^t - 2)$

最初の式 $\frac{\pi}{3}(-3e^t - 2e^{-2t} + e^t) = \frac{\pi}{3}(-2e^t - 2e^{-2t})$ も展開すると、$\frac{\pi}{3}(-2e^t - 2e^{-2t})$

これは $\frac{\pi}{3}(e^{3t} - 3e^t - 2)$ とは一致しません。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがある可能性があります。

もし最初の式が $\frac{\pi}{3}(-3e^t - 2e^{2t} + e^{3t})$ であれば、

$\frac{\pi}{3}(-3e^t - 2e^{2t} + e^{3t}) = \frac{\pi}{3}(e^{3t} - 2e^{2t} - 3e^t)$

$x=e^t$と置くと$\frac{\pi}{3}(x^3 - 2x^2 -3x) = \frac{\pi}{3}x(x^2 - 2x -3) = \frac{\pi}{3}x(x-3)(x+1)$

$x=e^t$に戻すと $\frac{\pi}{3}e^t(e^t - 3)(e^t + 1)$ となります。

いずれにしても、$\frac{\pi}{3}(e^t + 1)^2(e^t - 2)$ にはなりません。