特殊直交行列 $T = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -6 \\ -3 & 6 & 2 \end{pmatrix} \in SO(3)$ に対して、$f_T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3, f_T(\vec{x}) = T\vec{x}, (\vec{x} \in \mathbb{R}^3)$ は回転を表す。この回転の回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ と回転角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求めよ。

1. 問題の内容

特殊直交行列 $T = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & -6 \\ -3 & 6 & 2 \end{pmatrix} \in SO(3)$ に対して、$f_T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3, f_T(\vec{x}) = T\vec{x}, (\vec{x} \in \mathbb{R}^3)$ は回転を表す。この回転の回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ と回転角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求めよ。

2. 解き方の手順

回転軸の方向ベクトル $\vec{l}$ は、$T\vec{l} = \vec{l}$ を満たす。つまり、$\vec{l}$ は $T$ の固有値 1 に対応する固有ベクトルである。

$T\vec{l} = \vec{l}$ は $(T-I)\vec{l} = \vec{0}$ と書き換えられる。ここで $I$ は単位行列である。

$T - I = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 6-7 & 2 & 3 \\ 2 & 3-7 & -6 \\ -3 & 6 & 2-7 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -6 \\ -3 & 6 & -5 \end{pmatrix}$

$(T-I)\vec{l} = \vec{0}$ は $\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 2 & -4 & -6 \\ -3 & 6 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる。

この連立一次方程式を解く。1行目と2行目は比例関係にあるので、独立な式は2つだけである。

$-x + 2y + 3z = 0$

$-3x + 6y - 5z = 0$

1行目の式を3倍して2行目の式から引くと、

$(-3x + 6y - 5z) - 3(-x + 2y + 3z) = -14z = 0$ より $z = 0$ である。

よって、$-x + 2y = 0$ より $x = 2y$ となる。

したがって、固有ベクトル $\vec{l}$ は $\begin{pmatrix} 2y \\ y \\ 0 \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と表せる。

$\vec{l}$ は方向ベクトルなので、大きさが1になるように正規化する。

$\| \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5}$

よって、$\vec{l} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

回転角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ は、$tr(T) = 1 + 2\cos \theta$ という公式を使って求める。

$tr(T) = \frac{1}{7}(6+3+2) = \frac{11}{7}$

$\frac{11}{7} = 1 + 2\cos \theta$

$2\cos \theta = \frac{11}{7} - 1 = \frac{4}{7}$

$\cos \theta = \frac{2}{7}$

3. 最終的な答え

回転軸の方向ベクトル: $\vec{l} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

回転角の余弦: $\cos \theta = \frac{2}{7}$