数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = -1$ であり、漸化式 $2a_{n+1} = -4a_n + 3$ を満たします。このとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = -1$ であり、漸化式 $2a_{n+1} = -4a_n + 3$ を満たします。このとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を整理します。

$2a_{n+1} = -4a_n + 3$ より、

$a_{n+1} = -2a_n + \frac{3}{2}$

この漸化式は、特性方程式を用いて解くことができます。特性方程式を

$x = -2x + \frac{3}{2}$

とおくと、

$3x = \frac{3}{2}$

$x = \frac{1}{2}$

したがって、数列 $\{a_n - \frac{1}{2}\}$ は公比 -2 の等比数列となります。

$a_{n+1} - \frac{1}{2} = -2(a_n - \frac{1}{2})$

ここで、$b_n = a_n - \frac{1}{2}$ とおくと、数列 $\{b_n\}$ は $b_1 = a_1 - \frac{1}{2} = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$ を初項とし、公比 -2 の等比数列となります。

したがって、

$b_n = b_1 \cdot (-2)^{n-1}$

$b_n = -\frac{3}{2} \cdot (-2)^{n-1}$

$a_n = b_n + \frac{1}{2}$ より、

$a_n = -\frac{3}{2} \cdot (-2)^{n-1} + \frac{1}{2}$

$a_n = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} (-2)^{n-1}$

$a_n = \frac{1 - 3(-2)^{n-1}}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1 - 3(-2)^{n-1}}{2}$

または

$a_n = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}(-2)^{n-1}$