ある大学の入学者のうち、a大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cとする。 $n(A)=65$, $n(B)=40$, $n(A \cap B)=14$, $n(C \cap A)=11$, $n(B \cup C)=55$, $n(C \cup A)=78$, $n(A \cup B \cup C)=99$のとき、次の問いに答えよ。 (1) c大学を受験した人は何人か。 (2) a大学, b大学, c大学のすべてを受験した人は何人か。 (3) a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

ある大学の入学者のうち、a大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cとする。

$n(A)=65$, $n(B)=40$, $n(A \cap B)=14$, $n(C \cap A)=11$, $n(B \cup C)=55$, $n(C \cup A)=78$, $n(A \cup B \cup C)=99$のとき、次の問いに答えよ。

(1) c大学を受験した人は何人か。

(2) a大学, b大学, c大学のすべてを受験した人は何人か。

(3) a大学、b大学、c大学のどれか1大学のみを受験した人は何人か。

2. 解き方の手順

(1)

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 65 + 40 + n(C) - 14 - n(B \cap C) - 11 + n(A \cap B \cap C)$

$n(C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 99 - 65 - 40 + 14 + 11$

$n(C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 19$

また、$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$より、$55 = 40 + n(C) - n(B \cap C)$

$n(C) - n(B \cap C) = 15$

$n(C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 19$に代入すると、$15 + n(A \cap B \cap C) = 19$

$n(A \cap B \cap C) = 4$

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$より、$78 = n(C) + 65 - 11$

$n(C) = 78 - 65 + 11 = 24$

(2)

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$99 = 65 + 40 + 24 - 14 - n(B \cap C) - 11 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 4$ (1)より

(3)

Aのみ = $n(A) - n(A \cap B) - n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C) = 65 - 14 - 11 + 4 = 44$

Bのみ = $n(B) - n(A \cap B) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

Cのみ = $n(C) - n(A \cap C) - n(B \cap C) + n(A \cap B \cap C)$

$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$より、$55 = 40 + 24 - n(B \cap C)$

$n(B \cap C) = 64 - 55 = 9$

Bのみ = $40 - 14 - 9 + 4 = 21$

Cのみ = $24 - 11 - 9 + 4 = 8$

したがって、$44 + 21 + 8 = 73$

3. 最終的な答え

(1) 24人

(2) 4人

(3) 73人