画像の問題(10)は、PからQまで最短経路で行く方法について、以下の4つの場合について通り数を求める問題です。 (1) 総数 (2) Rを通る経路 (3) R, Sをともに通る経路 (4) x印の箇所を通らない経路

1. 問題の内容

画像の問題(10)は、PからQまで最短経路で行く方法について、以下の4つの場合について通り数を求める問題です。

(1) 総数

(2) Rを通る経路

(3) R, Sをともに通る経路

(4) x印の箇所を通らない経路

2. 解き方の手順

(1) 総数:

PからQへ行くためには、右に5回、上に4回移動する必要があります。したがって、合計9回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの式で表すことができます。

$_{9}C_{5} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

(2) Rを通る経路:

PからRへ行く経路数と、RからQへ行く経路数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせます。

PからRへは、右に2回、上に1回移動する必要があります。

$_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$

RからQへは、右に3回、上に3回移動する必要があります。

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、Rを通る経路の総数は $3 \times 20 = 60$

(3) R, Sをともに通る経路:

PからRへ行く経路数、RからSへ行く経路数、SからQへ行く経路数をそれぞれ計算し、それらを掛け合わせます。

PからRへの経路数は(2)より3通り。

RからSへは、右に1回、上に1回移動する必要があります。

$_{2}C_{1} = \frac{2!}{1!1!} = 2$

SからQへは、右に2回、上に2回移動する必要があります。

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

したがって、R, Sをともに通る経路の総数は $3 \times 2 \times 6 = 36$

(4) ×印の箇所を通らない経路:

まず、x印の箇所をXとします。

PからQへの総経路数から、X印の箇所を通る経路数を引くことで求めます。

PからXまでの経路数は、右に3回、上に2回移動する必要があるので、

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

XからQまでの経路数は、右に2回、上に2回移動する必要があるので、

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

X印を通る経路数は $10 \times 6 = 60$

x印の箇所を通らない経路は、総経路数からX印の箇所を通る経路数を引くことで求められるので、$126 - 60 = 66$

3. 最終的な答え

(1) 総数: 126通り

(2) Rを通る経路: 60通り

(3) R, Sをともに通る経路: 36通り

(4) ×印の箇所を通らない経路: 66通り