以下の条件を満たす2つの自然数の組 $(a, b)$ をすべて求めます。ただし、$a < b$とします。 (1) 和が320、最大公約数が16 (2) 積が720、最大公約数が6 (3) 和が140、最小公倍数が935 (4) 積が735、最小公倍数が105

## 問題128

1. 問題の内容

以下の条件を満たす2つの自然数の組 $(a, b)$ をすべて求めます。ただし、$a < b$とします。

(1) 和が320、最大公約数が16

(2) 積が720、最大公約数が6

(3) 和が140、最小公倍数が935

(4) 積が735、最小公倍数が105

2. 解き方の手順

**(1) 和が320、最大公約数が16**

$a = 16x, b = 16y$ とおくと、最大公約数が16より、$x$ と $y$ は互いに素な自然数で、$x < y$。

$a + b = 320$ より、$16x + 16y = 320$

$x + y = 20$

$x$ と $y$ は互いに素なので、$(x, y) = (1, 19), (3, 17), (7, 13), (9, 11)$

したがって、$(a, b) = (16, 304), (48, 272), (112, 208), (144, 176)$

**(2) 積が720、最大公約数が6**

$a = 6x, b = 6y$ とおくと、最大公約数が6より、$x$ と $y$ は互いに素な自然数で、$x < y$。

$ab = 720$ より、$6x \cdot 6y = 720$

$36xy = 720$

$xy = 20$

$x$ と $y$ は互いに素なので、$(x, y) = (1, 20), (4, 5)$

したがって、$(a, b) = (6, 120), (24, 30)$

**(3) 和が140、最小公倍数が935**

$a + b = 140$

$\text{lcm}(a, b) = 935 = 5 \cdot 11 \cdot 17$

$ab = \text{gcd}(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b)$

$a$ と $b$ の最大公約数を $g$ とすると、$a = gx, b = gy$, $x$ と $y$ は互いに素

$a + b = g(x + y) = 140$

$\text{lcm}(a, b) = gxy = 935$

$g$ は140の約数で、$g$ は935の約数でもあるので、$g$ は140と935の公約数である。

$140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$, $935 = 5 \cdot 11 \cdot 17$ より、$g = 5$

$g(x + y) = 140$ より $5(x + y) = 140$

$x + y = 28$

$gxy = 935$ より $5xy = 935$

$xy = 187 = 11 \cdot 17$

$x + y = 28$ かつ $xy = 187$ を満たす $x, y$ は、$x, y = 11, 17$

$(x, y) = (11, 17)$

$(a, b) = (55, 85)$

**(4) 積が735、最小公倍数が105**

$ab = 735$

$\text{lcm}(a, b) = 105$

$ab = \text{gcd}(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b)$

$\text{gcd}(a, b) = \frac{ab}{\text{lcm}(a, b)} = \frac{735}{105} = 7$

$a = 7x, b = 7y$ とおくと、$x$ と $y$ は互いに素な自然数で、$x < y$

$ab = 7x \cdot 7y = 735$

$49xy = 735$

$xy = 15$

$x$ と $y$ は互いに素なので、$(x, y) = (1, 15), (3, 5)$

したがって、$(a, b) = (7, 105), (21, 35)$

3. 最終的な答え

(1) $(a, b) = (16, 304), (48, 272), (112, 208), (144, 176)$

(2) $(a, b) = (6, 120), (24, 30)$

(3) $(a, b) = (55, 85)$

(4) $(a, b) = (7, 105), (21, 35)$

## 問題129

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、次の条件を満たす $n$ をすべて求めます。

(1) $n$, 21の最小公倍数が378

(2) $n$, 36の最小公倍数が360

(3) $n$, 225の最小公倍数が900

2. 解き方の手順

**(1) $n$, 21の最小公倍数が378**

$\text{lcm}(n, 21) = 378 = 2 \cdot 3^3 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

$n = 2 \cdot 3^a \cdot 7^b$ とおくと、$\text{lcm}(n, 21) = 2 \cdot 3^{\max(a, 1)} \cdot 7^{\max(b, 1)} = 2 \cdot 3^3 \cdot 7$

$\max(a, 1) = 3$ より、$a = 3$

$\max(b, 1) = 1$ より、$b \le 1$, よって、$b = 0, 1$

$n = 2 \cdot 3^3 \cdot 7^0 = 2 \cdot 27 = 54$ または $n = 2 \cdot 3^3 \cdot 7^1 = 378$

よって、$n = 54, 378$

**(2) $n$, 36の最小公倍数が360**

$\text{lcm}(n, 36) = 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$36 = 2^2 \cdot 3^2$

$n = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ とおくと、$\text{lcm}(n, 36) = 2^{\max(a, 2)} \cdot 3^{\max(b, 2)} \cdot 5^{\max(c, 0)} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$\max(a, 2) = 3$ より、$a = 3$

$\max(b, 2) = 2$ より、$b \le 2$, よって、$b = 0, 1, 2$

$\max(c, 0) = 1$ より、$c = 1$

$n = 2^3 \cdot 3^0 \cdot 5 = 40$, $n = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5 = 120$, $n = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$

よって、$n = 40, 120, 360$

**(3) $n$, 225の最小公倍数が900**

$\text{lcm}(n, 225) = 900 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$

$225 = 3^2 \cdot 5^2$

$n = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ とおくと、$\text{lcm}(n, 225) = 2^{\max(a, 0)} \cdot 3^{\max(b, 2)} \cdot 5^{\max(c, 2)} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$

$\max(a, 0) = 2$ より、$a = 2$

$\max(b, 2) = 2$ より、$b \le 2$, よって、$b = 0, 1, 2$

$\max(c, 2) = 2$ より、$c \le 2$, よって、$c = 0, 1, 2$

$n = 2^2 \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 4$, $n = 2^2 \cdot 3^0 \cdot 5^1 = 20$, $n = 2^2 \cdot 3^0 \cdot 5^2 = 100$

$n = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^0 = 12$, $n = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 60$, $n = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 300$

$n = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^0 = 36$, $n = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 180$, $n = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 900$

ただし、$n$ と $225$ の最小公倍数が $900$ なので、$n$ は $900$ の約数でなければならない。

よって、$n = 4, 12, 20, 36, 60, 100, 180, 900$.

3. 最終的な答え

(1) $n = 54, 378$

(2) $n = 40, 120, 360$

(3) $n = 4, 12, 20, 36, 60, 100, 180, 900$