与えられた関数 $f(x) = ax^2 + 4ax + 3a - 2$ について、以下の3つの問いに答える。 (1) $a = -1$ のとき、$-5 \le x \le 0$ における $f(x)$ の最大値を求める。 (2) 曲線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と共有点をもたない放物線であるとき、$a$ のとりうる値の範囲を求める。 (3) $-5 \le x \le 0$ を満たすすべての $x$ に対して $f(x) \le 0$ が成り立つとき、$a$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = ax^2 + 4ax + 3a - 2$ について、以下の3つの問いに答える。

(1) $a = -1$ のとき、$-5 \le x \le 0$ における $f(x)$ の最大値を求める。

(2) 曲線 $y = f(x)$ が $x$ 軸と共有点をもたない放物線であるとき、$a$ のとりうる値の範囲を求める。

(3) $-5 \le x \le 0$ を満たすすべての $x$ に対して $f(x) \le 0$ が成り立つとき、$a$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = -1$ のとき、$f(x) = -x^2 - 4x - 3$ となる。

平方完成すると、$f(x) = -(x^2 + 4x) - 3 = -(x^2 + 4x + 4) + 4 - 3 = -(x + 2)^2 + 1$ となる。

したがって、頂点は $(-2, 1)$ である。

定義域 $-5 \le x \le 0$ における最大値を求める。軸 $x = -2$ は定義域に含まれるので、$x = -2$ で最大値 $1$ をとる。

(2) $y = f(x) = ax^2 + 4ax + 3a - 2$ が $x$ 軸と共有点を持たない条件を求める。

$a = 0$ のとき、$f(x) = 3a - 2 = -2 \neq 0$ となり、$x$ 軸と共有点を持たない。

$a \neq 0$ のとき、$ax^2 + 4ax + 3a - 2 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D/4 = (2a)^2 - a(3a - 2) = 4a^2 - 3a^2 + 2a = a^2 + 2a$ となる。

$x$ 軸と共有点を持たない条件は、$D/4 < 0$ より、$a^2 + 2a < 0$ となる。

$a(a + 2) < 0$ より、$-2 < a < 0$ となる。

さらに、放物線であるためには $a \neq 0$ が必要なので、この条件を満たす必要がある。

$a > 0$ の場合、常に $f(x) > 0$ である必要があるので、$f(x) = ax^2 + 4ax + 3a - 2$ の頂点の $y$ 座標が正である必要がある。頂点の $x$ 座標は $x = -2$ であり、$y = a(-2)^2 + 4a(-2) + 3a - 2 = 4a - 8a + 3a - 2 = -a - 2$ となる。$-a - 2 > 0$ より、$a < -2$ となるが、$a > 0$ と矛盾する。

$a < 0$ の場合、常に $f(x) < 0$ である必要があるので、判別式 $D < 0$ が必要となる。$a^2 + 2a < 0$ より $-2 < a < 0$ となる。

したがって、$-2 < a < 0$ である。

(3) $-5 \le x \le 0$ を満たすすべての $x$ に対して $f(x) \le 0$ が成り立つ条件を求める。

$a = 0$ のとき、$f(x) = -2 \le 0$ なので、条件を満たす。

$a > 0$ のとき、$f(-5) = 25a - 20a + 3a - 2 = 8a - 2 \le 0$ より、$a \le \frac{1}{4}$。

$f(0) = 3a - 2 \le 0$ より、$a \le \frac{2}{3}$。

頂点の $x$ 座標は $x = -2$ であり、$-5 \le -2 \le 0$ を満たす。

$f(-2) = 4a - 8a + 3a - 2 = -a - 2 \le 0$ より、$a \ge -2$。

したがって、$0 < a \le \frac{1}{4}$。

$a < 0$ のとき、$f(-5) = 8a - 2 \le 0$ より、$a \le \frac{1}{4}$。

$f(0) = 3a - 2 \le 0$ より、$a \le \frac{2}{3}$。

頂点の $x$ 座標は $x = -2$ であり、$-5 \le -2 \le 0$ を満たす。

$f(-2) = -a - 2 \le 0$ より、$a \ge -2$。

$f(-5) \le 0$ かつ $f(0) \le 0$ が必要である。$f(-5) \le 0 \Leftrightarrow a \le 1/4$。 $f(0) \le 0 \Leftrightarrow a \le 2/3$.

$a<0$ より $-2 \le a < 0$. この範囲で放物線は上に凸なので, 軸の位置が定義域内にあるか外にあるかで場合分けが必要.

定義域内に軸がある場合は, $f(-2) \le 0 \Leftrightarrow -a-2 \le 0 \Leftrightarrow a \ge -2$. これは常に成り立つ.

$a$ は $-2 \leq a \leq 0$ の範囲を取る。

したがって、$a = 0$ または $-2 \le a \le \frac{1}{4}$ となる。

$-2 \le a \le 0$の場合、$f(-5) = 8a -2 \le 0$, $f(0) = 3a-2 \le 0$であり、 $-5 \le x \le 0$で$f(x) \le 0$を満たす。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $-2 < a < 0$

(3) $-2 \le a \le 0$