数列 $a_n$ は、$a_1 = 3$ と漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ を満たす。このとき、$\sum_{k=1}^n a_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ は、$a_1 = 3$ と漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ を満たす。このとき、$\sum_{k=1}^n a_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ を解いて数列 $a_n$ の一般項を求める。

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2$ を変形する。

$a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$

$b_n = a_n + 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となる。

これは、数列 $b_n$ が公比 3 の等比数列であることを示している。

$b_1 = a_1 + 1 = 3 + 1 = 4$ なので、

$b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$

したがって、$a_n = b_n - 1 = 4 \cdot 3^{n-1} - 1$

次に、$\sum_{k=1}^n a_k$ を計算する。

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (4 \cdot 3^{k-1} - 1)$

$= 4 \sum_{k=1}^n 3^{k-1} - \sum_{k=1}^n 1$

$\sum_{k=1}^n 3^{k-1}$ は初項 1、公比 3 の等比数列の和であるから、

$\sum_{k=1}^n 3^{k-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

したがって、

$\sum_{k=1}^n a_k = 4 \cdot \frac{3^n - 1}{2} - n = 2(3^n - 1) - n = 2 \cdot 3^n - 2 - n$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^n a_k = 2 \cdot 3^n - n - 2$